En matemáticas, el teorema de Heine-Cantor, llamado así por deberse a Eduard Heine (1821 - 1881) y Georg Cantor, establece que, si
{\displaystyle f:M\rightarrow N}
es una función continua entre dos espacios métricos y
[1] En particular, se tiene que toda función real continua definida en un intervalo cerrado y acotado
f : [ a , b ] →
{\displaystyle f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }
es uniformemente continua, pues
La continuidad uniforme de una función se expresa como: donde
son las funciones distancia en los espacios métricos
Si ahora asumimos que
es continua en el espacio métrico compacto
pero no uniformemente continua, llegaremos a contradicción.
La negación de la continuidad uniforme de
queda así (
denota la conjunción lógica "y"): Fijando este
, para todo
positivo tenemos un par de puntos
con las propiedades arriba descritas.
tales que Como
es compacto, el teorema de Bolzano-Weierstrass demuestra la existencia de dos subsucesiones convergentes (
Se sigue que para todo
convergen en el mismo punto, esta afirmación no puede ser cierta.
La contradicción prueba que nuestra suposición de que
no es uniformemente continua es absurda: entonces
debe ser uniformemente continua en