Álgebra abstracta

En álgebra abstracta, los elementos combinados por diversas operaciones generalmente no son interpretables como números, razón por la cual el álgebra abstracta no puede ser considerada una simple extensión de la aritmética.El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las que se basan todas la matemática y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de la matemática.El álgebra abstracta surgió durante el siglo XIX a medida que se desarrollaban problemas y métodos de solución más complejos.Esta unificación se produjo en las primeras décadas del siglo XX y dio lugar a las definiciones axiomáticas formales de diversas estructuras algebraicas como grupos, anillos y campos.[1]​ Este desarrollo histórico es casi el opuesto del tratamiento que se encuentra en los libros de texto populares, como el Álgebra Moderna de van der Waerden,[2]​ que comienzan cada capítulo con una definición formal de una estructura y luego la siguen con ejemplos concretos.Esta etapa de problemas de palabras se clasifica como álgebra retórica y fue el enfoque dominante hasta el siglo XVI.[4]​ El estudio formal de la resolución de ecuaciones simbólicas llevó a Leonhard Euler a aceptar lo que entonces se consideraban raíces "sin sentido", como números negativos y números imaginarios, a finales del siglo XVIII.[5]​ Sin embargo, los matemáticos europeos, en su mayoría, se resistieron a estos conceptos hasta mediados del siglo XIX., en el álgebra simbólica todas las reglas de las operaciones se mantienen sin restricciones.[8]​ El concepto abstracto de grupo surgió lentamente a mediados del siglo XIX.Galois en 1832 fue el primero en utilizar el término “grupo”,[9]​ significando una colección de permutaciones cerradas bajo composición.[11]​ En 1870 Kronecker definió una operación binaria abstracta que era cerrada, conmutativa, asociativa y tenía la propiedad de cancelación izquierda,[12]​ similares a las leyes modernas para un grupo abeliano finito.Burnside, Frobenius y Molien crearon la teoría de la representación de grupos finitos a finales del siglo XIX.Muchos otros sistemas numéricos siguieron poco después.[19]​ James Cockle presentó los números bicomplejos en 1848[20]​ y cocuaterniones en 1849.[22]​ Una vez que hubo suficientes ejemplos, quedaba clasificarlos.Definió los elementos nilpotentes e idempotentes y demostró que cualquier álgebra contiene uno u otro.Inspirándose en esto, en la década de 1890 Cartan, Frobenius y Molien demostraron (independientemente) que un álgebra asociativa de dimensión finita sobreCartan fue el primero en definir conceptos como suma directa y álgebra simple, que resultaron muy influyentes.Jacobi y Eisenstein, más o menos al mismo tiempo, demostraron una ley de reciprocidad cúbica para los enteros de Eisenstein.[23]​ El estudio del último teorema de Fermat condujo a los enteros algebraicos.Posteriormente, han sido axiomatizadas y luego estudiadas de propio derecho en dicho marco.Por eso, esta materia tiene numerosas y fructíferas conexiones con todas las demás ramas de la matemática y fuera de ella.Más allá de las estructuras anteriores pueden definirse otro tipo de estructuras algebraicas: El estudio sistemático no es verdad pero del álgebra ha permitido a los matemáticos llevar bajo una descripción lógica común conceptos aparentemente distintos.Por ejemplo, podemos considerar dos operaciones bastante distintas: la composición de aplicaciones,Podemos ver esto, informalmente, de la siguiente forma: multiplicar dos matrices cuadradasEsto, de hecho, define una función que es equivalente a componerLas funciones bajo composición y las matrices bajo multiplicación forman estructuras llamados monoides.Ciertamente, que dos conjuntos isomorfos se consideran idénticos, lo que interesan son las operaciones y sus leyes en dichos conjuntos.