Un problema diofántico típico es encontrar dos números enteros x e y tales que su suma y la suma de sus cuadrados sean iguales a dos números dados A y B, respectivamente: Las ecuaciones diofantinas han sido estudiadas por miles de años.
Por ejemplo, las soluciones de la ecuación cuadrática diofantina x2 + y2 = z2 son expresadas por las ternas pitagóricas, originalmente resueltos por lo babilonios (c. 1800 AC).
[2] Las soluciones para las ecuaciones diofantinas lineales, tales como 26x + 65y = 13, se pueden calcular utilizando el algoritmo de Euclides (siglo V AC).
En este libro, Gauss reúne los resultados de la teoría de los números obtenidos por matemáticos como Fermat, Euler, Lagrange y Legendre y añade nuevos e importantes resultados propios.
Gauss reunió el trabajo de sus predecesores junto con su propio trabajo original en un marco sistemático, rellenó lagunas, corrigió pruebas poco sólidas y amplió el tema de numerosas maneras.
Las Disquisitiones fueron el punto de partida para el trabajo de otros matemáticos europeos del siglo XIX, como Ernst Kummer, Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Richard Dedekind.
La fórmula, que Jacobi calificó como un resultado que "toca lo máximo de la perspicacia humana", abrió el camino para obtener resultados similares con respecto a number fields más generales.
Publicó importantes contribuciones al último teorema de Fermat, para el que demostró los casos n = 5 y n = 14, y a la ley de reciprocidad bicuadrática.
Se dice que los números como p y up son asociados.
En los números enteros, los primos p y −p son asociados, pero sólo uno de ellos es positivo.
Sin embargo, incluso con esta definición más débil, muchos anillos de enteros en campos numéricos algebraicos no admiten una factorización única.
Existe un obstáculo algebraico llamado grupo de clases ideales.
Estos son los elementos que no se pueden factorizar más.
As there is no sense in which the elements 3, 2 + √-5 y 2 - √-5 can be made equivalent, unique factorization fails in Z[√-5].
Unlike the situation with units, where uniqueness could be repaired by weakening the definition, overcoming this failure requires a new perspective.
es un ideal primo, y donde esta expresión es única hasta el orden de los factores.
En particular, esto es cierto si I es el ideal principal generado por un solo elemento.
Kummer los utilizó como sustituto del fracaso de la factorización única en campo ciclotómico.
Si I y J son ideales fraccionarios, entonces el conjunto IJ de todos los productos de un elemento en I y un elemento en J también es un fraccional ideal.
Esta operación hace al conjuntode los fraccionales ideales no nulos un grupo.
Dos ideales fraccionarios I y J representan el mismo elemento del grupo de clase ideal si y solo si existe un elemento x ∈ K tal que xI = J. Por lo tanto, el grupo de clase ideal hace que dos ideales fraccionarios sean equivalentes si uno está tan cerca de ser principal como el otro.
Estos son objetos formales que representan posibles factorizaciones de números.
En el lenguaje del álgebra homológica, esto dice que hay una secuencia exacta de grupos abelianos (escrita multiplicativamente),