Cuerpo cuadrático

Es sencillo mostrar que el mapa d ↦ Q(√d) es un biyección desde el conjunto de todos los enteros libres de cuadrados d ≠ 0, 1 al conjunto de todos los cuerpos cuadráticos.Si d > 0 al correspondiente cuerpo cuadrático se le llama cuerpo cuadrático real, y para d < 0 se llama cuerpo cuadrático imaginario o cuerpo cuadrático complejo, corresponde a si sus encajes arquimedianos son reales o complejos.Los cuerpos cuadráticos han sido estudiados en gran profundidad, inicialmente como parte de la teoría de forma cuadrática binaria.El problema del número de clases es importante en particular.donde ξ es una raíz de un polinomio cuadrático irreducible sobre ℚ.Por otro lado si k y l son enteros racionales diferentes libres de cuadrados, ninguno de ellos vale 1, entonces, donde d es un entero libre de cuadrados, los enteros cuadráticos son números que tienen la forma a + ωb, donde a, b son enteros, y donde ω está definido mediante: El anillo de enteros cuadráticos Z[ω] = {a + ωb : a, b ∈ Z} es un subanillo del cuerpo cuadráticoEn otras palabras, es el anillo de enterosEl discriminante de un cuerpo cuadrático Q(√d) es d si d es congruente con 1 módulo 4, y 4d de otra manera.Por ejemplo, cuando d es −1 siendo K es un cuerpo de los así llamados racionales gaussianos, el discriminante es −4.Por ejemplo, si p es un número primo que no divide a D, entonces p se descompone si y sólo si D es congruente con un cuadrado módulo p. Los dos primeros casos son en un cierto sentido equivalentes a la posibilidad de que ocurra como p sigue a través de los primos, véase teorema de densidad de Chebotarev.Un ejemplo clásico de construcción de un cuerpo cuadrático es tomar el único cuerpo cuadrático dentro del cuerpo ciclotómico generado por la p-ésima raíz primitiva de la unidad, con p un número primo > 2.Esto también se puede predecir suficientemente bien usando la teoría de ramificación.En efecto, p es el único primo que ramifica en el cuerpo ciclotómico, así que p es el único primo que puede ser dividido por el discriminante del cuerpo cuadrático.Esto descarta los 'otros' discriminantes −4p y 4p en sus casos respectivos.Si se toman otros cuerpos ciclotómicos, se obtienen grupos de Galois con 2-torsión extra, conteniendo así al menos tres cuerpos cuadráticos.