Último teorema de Fermat

Este teorema fue conjeturado por Pierre de Fermat en 1637, pero no fue demostrado hasta 1995 por Andrew Wiles ayudado por el matemático Richard Taylor.[2]​ La ecuación de Pitágoras, x2 + y2 = z2, tiene un número infinito de soluciones enteras positivas para x, y y z; estas soluciones se conocen como triples pitagóricos (con el ejemplo más simple 3,4,5).Hacia 1637, Fermat escribió en el margen de un libro que la ecuación más general an + bn = cn no tenía soluciones en enteros positivos si n es un entero mayor que 2.Esta afirmación, que pasó a conocerse como El último teorema de Fermat, quedó sin resolver durante los tres siglos y medio siguientes.[note 1]​ Durante los dos siglos siguientes (1637-1839), la conjetura se demostró sólo para los primos 3, 5 y 7, aunque Sophie Germain innovó y demostró una aproximación que era relevante para toda una clase de primos.Basándose en el trabajo de Kummer y utilizando sofisticados estudios informáticos, otros matemáticos fueron capaces de ampliar la demostración para cubrir todos los exponentes primos hasta cuatro millones, pero una demostración para todos los exponentes era inaccesible (lo que significa que los matemáticos generalmente consideraban una demostración imposible, excesivamente difícil o inalcanzable con los conocimientos actuales).[4]​.Por separado, alrededor de 1955, los matemáticos japoneses Goro Shimura y Yutaka Taniyama sospecharon que podría existir un vínculo entre las curvas elípticas y las formas modulares, dos áreas completamente diferentes de las matemáticas.Ahí, Fermat escribió: [15]​ El primer matemático que consiguió avanzar sobre este teorema fue el propio Fermat, que demostró el caso n=4 usando la técnica del descenso infinito, una variante del principio de inducción.Corregirla directamente era demasiado difícil, pero otros aportes anteriores de Euler permitían encontrar una solución correcta por medios más simples.Un caso especial dice que si p y 2p + 1 son ambos primos, entonces la expresión de la conjetura de Fermat para la potencia p implica que uno de los x, y o z es divisible por p. En consecuencia la conjetura se divide en dos casos: Sophie Germain probó el caso 1 para todo p menor que 100 y Adrien-Marie Legendre extendió sus métodos a todos los números menores que 197.No fue hasta 1825 cuando Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Legendre generalizaron para n=5 la demostración de Euler.Entre 1844 y 1846 Ernst Kummer demostró que la factorización no única podía ser salvada mediante la introducción de números complejos ideales.Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwänger, Vandiver y otros extienden la investigación a números más grandes.En el año 1995 el matemático Andrew Wiles, en un artículo de 98 páginas publicado en Annals of mathematics, demostró el caso semiestable del teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente una conjetura, que engarza las formas modulares y las curvas elípticas.[17]​ Aunque una versión anterior (no publicada) del trabajo de Wiles contenía un error, este pudo ser corregido en la versión publicada, que consta de dos artículos, el segundo en colaboración con el matemático Richard Taylor.