Si x es un número irracional algebraico de grado n sobre los números racionales, entonces existe una constante c(x) > 0 tal que para cualesquiera enteros p y q con q > 0.
Subsecuentemente, Wolfgang M. Schmidt generalizó este resultado al caso de las aproximaciones simultáneas.
Aleksandr Khinchin demostró que si es una función no creciente y
, entonces para casi todos los números reales x (no necesariamente algebraicos), hay a lo sumo una cantidad finita de racionales p/q con q no nulo y Análogamente, si la suma diverge, entonces para casi todos los números reales hay una cantidad infinita de tales números racionales p/q.
Schaeffer[1] probaron un teorema más general (conjetura Duffin–Schaeffer) que implica el resultado de Khinchine.
En 2006, V. Beresnevich y S. Velani probaron una medida de Hausdorff análoga a la conjetura, publicado en los Annals of Mathematics.
[2] Hay muchas técnicas y resultados disponibles; el más general es el de los límites inferiores para formas lineales en logaritmos, desarrollado por Alan Baker.
Un refinamiento del teorema de Baker por Fel'dman implica que si x es un número algebraico de grado n sobre los números racionales, entonces existen efectivamente constantes computables c(x) > 0 y 0 < d(x) < n tales que es cierto para todo entero racional con q distinto de cero.
Sin embargo, esta cantidad siempre puede hacerse arbitrariamente pequeña aumentando los valores absolutos de p y q; Por lo tanto la exactitud de la aproximación se estima usualmente comparando esta cantidad con alguna función φ del denominador q típicamente un poder negativo de la misma.
Un número mal aproximado es un x para el que existe una constante positiva c de modo que para todo racional p/q tenemos: Los números mal aproximados son precisamente aquellos con cocientes convergentes (fracción continua) parciales acotados.
Así, la precisión de la aproximación es mala en relación con los números irracionales (ver secciones siguientes).
Este comentario aparentemente trivial se usa en casi todas las pruebas de límites inferiores para Aproximaciones diofánticas, incluso las más sofisticadas.
En los años 1840, Joseph Liouville obtuvo el primer Límite inferior para la aproximación del número algebraico.
Si x es un número algebraico irracional de grado n en los números racionales, Entonces existe una constante c(x) > 0 tal que: Para todos los enteros p y q donde q > 0.
Este vínculo entre las aproximaciones diofantinas y la teoría numérica trascendental continúa hasta nuestros días.
Durante más de un siglo, hubo muchos esfuerzos para mejorar el teorema de Liouville: cada mejora del límite nos permite probar que más números son trascendentales.
Las principales mejoras se deben a Axel Thue, Carl Ludwig Siegel, Freeman Dyson y Klaus, conduciendo finalmente al teorema de Thue-Siegel-Roth: Si x es un número irracional algebraico y ε un (pequeño) número real positivo, entonces existe una constante positiva c(x, ε) tal que: Tiene para cada entero p y q tal que q > 0.
En cierto sentido, este resultado es óptimo, ya que el teorema sería falso con ε = 0.
Esta es una consecuencia inmediata de los límites superiores descritos a continuación.
Posteriormente, Wolfgang M. Schmidt generalizó esto al caso de aproximaciones simultáneas, demostrando que: Si x1, ..., xn son números algebraicos tal que 1, x1, ..., xn son linealmente independientes sobre los números racionales y ε es cualquier número real positivo dado, entonces solo hay un número finito de factores racionales n-tuples (p1/q, ..., pn/q) tal que: De nuevo, este resultado es óptimo en el sentido de que uno no puede eliminar ε del exponente.
Hermann Weyl provee una resultado básico que muestra la equivalencia con cotas para sumas exponenciales formadas por la sucesión.