En física y campos relacionados, suele ser útil trabajar con los componentes de un objeto algebraico en lugar de con el propio objeto.
son los vectores de la base estándar habitual en el espacio euclídeo, lo que suele ser necesario para fines computacionales y, a menudo, puede resultar revelador cuando los objetos algebraicos representan abstracciones complejas pero sus componentes tienen interpretaciones concretas.
Sin embargo, con esta identificación, hay que tener cuidado de seguir los cambios de la base subyacente en la que se representa una magnitud.
De manera más general, si un objeto algebraico representa un objeto geométrico, pero se expresa en términos de una base particular, entonces es necesario, cuando se cambia la base, cambiar también la representación.
Los físicos a menudo llaman a esta representación de un objeto geométrico tensor si se transforma bajo una secuencia de aplicaciones lineales dado un cambio lineal de base (aunque, de manera confusa, otros llaman al objeto geométrico subyacente que no ha cambiado bajo la transformación de coordenadas un tensor, una convención que este artículo evita estrictamente).
En ciertos casos especiales es conveniente utilizar representaciones que se transforman casi como tensores, pero con un factor adicional no lineal en la transformación.
Un ejemplo prototípico es una matriz que representa el producto vectorial (área del paralelogramo extendido) en
Dado que el área del paralelogramo extendido es una invariante geométrica, no puede haber cambiado con el cambio de base, por lo que la nueva representación de esta matriz debe ser: que, cuando se expande, es solo la expresión original pero multiplicada por el determinante de
Los objetos que se transforman de esta manera se denominan densidades tensoriales porque surgen naturalmente al considerar problemas relacionados con áreas y volúmenes, y por eso se utilizan con frecuencia en la integración.
Otros autores los clasifican de manera diferente, en los tipos llamadas densidades tensoriales pares y densidades tensoriales impares.
Cuando el peso de la densidad tensorial es un número entero, existe una equivalencia entre estos enfoques que depende de si el número entero es par o impar.
Debe tenerse en cuenta que estas clasificaciones aclaran las diferentes formas en que las densidades tensoriales pueden transformarse de manera inconsistente bajo transformaciones de coordenadas que impliquen la inversión de la orientación.
Independientemente de sus clasificaciones en estos tipos, solo hay una forma en la que las densidades tensoriales se transforman bajo transformaciones de coordenadas que "preservan" la orientación.
En el presente artículo se ha elegido la convención que asigna un peso de +2 a
, el determinante del tensor métrico expresado con índices covariantes.
[4] En contraste con el significado utilizado en este artículo, en la relatividad general "seudotensor" a veces significa un objeto que no se transforma como un tensor o un tensor relativo de cualquier peso.
es la densidad tensorial transformada en el sistema de coordenadas
Debido a que el determinante puede ser negativo, como lo es para una transformación de coordenadas con inversión de orientación, esta fórmula solo es aplicable cuando
es un número entero (consúltese el epígrafe sobre las densidades tensoriales pares e impares que figura a continuación).
es un número entero par, la fórmula anterior para una densidad tensorial (auténtica) se puede reescribir como De manera similar, cuando
es un número entero impar, la fórmula para una densidad tensorial (auténtica) se puede reescribir como Una densidad tensorial de cualquier tipo que tenga peso cero también se denomina tensor absoluto.
Una densidad tensorial auténtica (par) de peso cero también se denomina tensor ordinario.
y tomando su raíz cuadrada, se obtiene: Cuando el tensor
de peso W, se puede escribir en la forma: donde
Cuando se utiliza la conexión métrica (la conexión de Levi-Civita), la derivada covariante de una densidad tensorial par se define como: Para una conexión arbitraria, la derivada covariante se define agregando un término adicional, a saber: expresión que sería apropiada para la derivada covariante de un tensor ordinario.
dividida por ese elemento (no se utiliza la métrica en este cálculo) es una densidad vectorial contravariante de peso +1.
es el símbolo de Levi-Civita (véase más abajo).
(es decir, el momento lineal transferido del campo electromagnético a la materia dentro de un elemento
de volumen cuadridimensional dividido por ese elemento (no se utiliza la métrica en este cálculo) es una densidad vectorial covariante de peso +1.
Obsérvese que el símbolo de Levi-Civita (así considerado) no obedece a la convención habitual para subir o bajar índices con el tensor métrico.