En matemáticas, el enfoque teórico moderno sin componentes considera un tensor como un ente abstracto y concreto que expresa algún tipo definido de aplicación multilineal.
Lo mismo ocurre en relatividad general, con los campos tensoriales que describen un propiedad física.
[2] Dado un conjunto finito {V1, ..., Vn } de espacios vectoriales sobre un cuerpo F común, se puede formar su producto tensorial V1 ⊗ ... ⊗ Vn, y se denomina tensor a cualquier elemento de este producto tensorial.
El espacio de todos los tensores del tipo (m, n) se denota por Ejemplo 1.
corresponde de forma natural a un tensor del tipo (0, 2) en
El rango de un tensor T es el número mínimo de tensores simples que suman T (Bourbaki, 1989, II, §7, no.
Si se conoce una descomposición de bajo rango del tensor T, entonces se conoce una estrategia de evaluación eficiente como (Knuth, 1998, pp. 506–508).
se puede caracterizar por una propiedad universal en términos de aplicaciones multilineales.
En consecuencia, se puede escribir información computacional explícita usando bases, y este orden de prioridades puede ser más conveniente que demostrar que una fórmula da lugar a una aplicación natural.
Otro aspecto es que los productos tensoriales no se utilizan solo para los módulos libres, y el enfoque universal se aplica con mayor facilidad a situaciones más generales.
Una función con valores escalares en un producto cartesiano (o suma directa) de espacios vectoriales es multilineal si es lineal en cada argumento.
La caracterización universal del producto tensorial implica que, para cada función multilineal (donde
puede representar el cuerpo de los escalares, un espacio vectorial o un espacio tensorial) existe una función lineal única tal que para todos los
Usando la propiedad universal, se deduce que, cuando V es de dimensión finita, el espacio de tensores (m,n) admite una transformación natural Cada V en la definición del tensor corresponde a un V* dentro del argumento de las aplicaciones lineales, y viceversa (téngase en cuenta que en el primer caso, hay m copias de V y n copias de V*, y en el último caso es al revés).
En particular, se tiene que En geometría diferencial, física e ingeniería, a menudo debe tratarse con campos tensoriales en variedades diferenciables.
El término tensor se utiliza a veces como abreviatura de campo tensorial.