Espacio vectorial
En álgebra lineal, un espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
[nota 1] Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.
[nota 4] Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales.
En 1857, Cayley introdujo la notación matricial que permite una armonización y simplificación de las aplicaciones lineales.
Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius.
El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.
Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920[nota 7] y por Hilbert.
En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert.
También en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron.
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería.
Dependiendo las fuentes que se consulten, también es común denotarlos por y si el texto es de física entonces suelen denotarse por Mientras que los elementos de
, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado: operación interna tal que: Y tenga la operación producto por un escalar: operación externa tal que: La denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto y adición para la suma, usando las distinciones propias de la aritmética.
Por claridad se conserva la denominación del vector, en este caso u, en sus coordenadas, añadiendo el subíndice x o y para denominar su componente en el eje x o y respectivamente En
: 4) tenga elemento opuesto: La operación producto por un escalar: El producto de a y u será: donde: esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aun así está bien definida.
, donde n>0 es un entero, tiene como elementos n-tuplas, es decir, sucesiones finitas de
Si se supone lo contrario, que existe uno más pequeño
contradicción, ya que u está generado por elementos de
La minimalidad, por otro lado, se hace formal por el concepto de independencia lineal.
Equivalentemente, una ecuación solo se consigue si todos los escalares a1, ..., an son iguales a cero.
Debido a la independencia lineal este tipo de representación es única.
Los espacios vectoriales a veces se introducen desde este punto de vista.
Dado un sistema de generadores, diremos que es una base si son linealmente independientes.
Toda base de un espacio vectorial puede ser cambiada parcialmente por vectores linealmente independientes.
de dimensión finita, tenemos el resultado siguiente: Dados dos subespacios vectoriales
Además de las definiciones concretas que figuran a continuación, también se caracterizan por propiedades universales, que determina un objeto X especificando las aplicaciones lineales de X a cualquier otro espacio vectorial.
, veamos que están bien definidas las dos operaciones: Desde el punto de vista del álgebra lineal, los espacios vectoriales se comprenden completamente en la medida en que cualquier espacio vectorial se caracteriza, salvo isomorfismos, por su dimensión.
Sin embargo, los espacios vectoriales ad hoc no ofrecen un marco para hacer frente a la cuestión fundamental para el análisis de si una sucesión de funciones converge a otra función.
Asimismo, el álgebra lineal no está adaptada per se para hacer frente a series infinitas, ya que la suma solo permite un número finito de términos para sumar.
Las necesidades del análisis funcional requieren considerar nuevas estructuras.
