Otro hermano de Hermann, Robert, también se dedicó a las matemáticas y ambos trabajaron conjuntamente en muchos proyectos.
Un año más tarde regresó a Stettin para dar clases de matemáticas, física, lengua alemana, latín y religión en un centro educativo nuevo, la Otto Schule.
Grassmann tuvo once hijos, de los que siete llegaron a adultos.
En 1844, Grassmann publica su obra maestra, Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, más conocido como Ausdehnungslehre, que se puede traducir como "teoría de la extensión" o "teoría de las magnitudes extensivas".
Fearnley-Sander (1979) describe la creación del álgebra lineal de Grassmann de este modo: Desarrollando una idea de su padre, Grassmann definió también en Ausdehnungslehre el producto exterior, llamado también "producto combinatorio" (en alemán: äußeres Produkt o kombinatorisches Produkt), la operación clave en el álgebra que hoy se conoce como álgebra externa.
(Conviene no olvidar que en los tiempos de Grassmann la única teoría axiomática disponible era la Geometría euclidiana, y que la noción general de álgebra abstracta aún no había sido definida.)
Grassmann lo expuso como tesis doctoral, pero Möbius no se consideró capaz de valorarlo y se lo remitió a Ernst Kummer, que lo rechazó sin haber llevado a cabo una lectura atenta.
Giuseppe Peano y sus seguidores citaron ampliamente este trabajo a partir de 1890.
En esta obra desarrolla un cálculo operatorio directo para las diversas magnitudes geométricas, que se conoce como números de Grassmann.
El único matemático que valoró en su justa medida las ideas Grassmann en vida de este fue Hermann Hankel.
En su obra Theorie der complexen Zahlensysteme (1867) ayudó a que se conocieran mejor las ideas de Grassmann.
Se tardó en adoptar los métodos matemáticos de Grassmann pero influyeron directamente en Felix Klein y Élie Cartan.
Para una introducción sobre la importancia del trabajo de Grassmann en la física matemática ver Penrose (2004: caps.
Su diccionario y su traducción del Ayurveda (que se sigue publicando hoy en día) tuvieron un gran reconocimiento entre los filólogos.
Sus cualidades filológicas fueron reconocidas en vida: fue admitido en la American Oriental Society en 1876 y fue nombrado doctor honoris causa por la Universidad de Tubinga.