Relación de equivalencia

En teoría de conjuntos y álgebra, la noción de relación de equivalencia sobre un conjunto permite establecer una relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica o propiedad.

Esto permite reagrupar dichos elementos en clases de equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos similares.

Esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos «juntando» todos los elementos de una misma clase como un solo elemento que los representará y que define la noción de conjunto cociente.

un conjunto dado no vacío y

es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades: Notación: En lógica de clases y análisis matemático, la relación de equivalencia

llamados clases de equivalencia: Dado un elemento

, el conjunto dado por todos los elementos relacionados con

definen la clase: se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento

se le llama representante de la clase.

Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si este es finito, se dice que la relación es de orden finito.

El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en la ciencia, dado un conjunto de objetos o entidades abstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerse relaciones de equivalencia sobre la base de algún criterio, las clases resultantes son los "tipos" en los que se puede clasificar toda la gama de objetos.

[cita requerida] Al conjunto de todas las clases de equivalencia se denomina conjunto cociente y se denota como: Una relación de equivalencia sobre un conjunto induce una partición del mismo, es decir, un conjunto en el que se ha definido una relación de equivalencia puede ser dividido en varios subconjuntos de elementos equivalentes entre sí y tales que la reunión de esos subconjuntos coincide con el conjunto entero.

El siguiente teorema expresa en términos más formales esa misma idea: Dada una partición de K,

, podemos definir la siguiente clase de equivalencia: La partición tiene como elementos las clases de equivalencia.

Estas son disjuntas dos a dos y la unión de ellas es igual al conjunto K. Sobre el conjunto

es verdadera, entonces se dice que la propiedad

está bien definida o es una invariante de clase bajo la relación

Un caso particular frecuente se da cuando

se dice que es un {em|morfismo}} para

o simplemente invariante bajo

Este último caso con la función

puede expresarse mediante un triángulo conmutativo.

En términos más generales, una función puede asignar argumentos equivalentes (bajo una relación de equivalencia

Tal función se conoce como un morfismo de

Con base en esto, a continuación veamos algunas definiciones: Un subconjunto Y de X tal que

Si X es un espacio topológico, existe una forma natural de transformar

Además, los elementos de P son disjuntos por pares y su unión es X.

son dos relaciones de equivalencia en el mismo conjunto

Equivalentemente, La relación de equivalencia de igualdad es la relación de equivalencia más fina de cualquier conjunto, mientras que la relación universal, que relaciona todos los pares de elementos, es la más tosca.

" sobre la colección de todas las relaciones de equivalencia en un conjunto fijo es en sí misma una relación de orden parcial, lo que hace que la colección sea una red geométrica.