Ecuación de Langevin
Estos grados de libertad son típicamente variables colectivas (macroscópicas) que cambian solo lentamente en comparación con las otras variables (microscópicas) del sistema.
el nombre dado en contextos físicos a términos en ecuaciones diferenciales estocásticas (procesos estocásticos) que representan el efecto de las colisiones con las moléculas del fluido.
La forma de la δ-función corre de las correlaciones en el tiempo significa que se supone que la fuerza en un momento
no está correlacionada completamente con ella en ningún otro momento.
Sin embargo, la ecuación de Langevin se usa para describir el movimiento de una partícula "macroscópica" en una escala de tiempo mucho más larga, y en este límite la correlación
y la ecuación de Langevin se vuelven exactas.
no es una función en el sentido matemático habitual e incluso la derivada
[2] Esta ecuación genérica juega un papel central en la teoría de la dinámica crítica[3] y en otras áreas de la mecánica estadística sin equilibrio.
La ecuación para el movimiento browniano anterior es un caso especial.
Una condición esencial de la derivación es un criterio que divide los grados de libertad en categorías lentas y rápidas.
Pero las densidades de cantidades conservadas, como la masa y la energía, tardan mucho más tiempo en relajarse hasta alcanzar el equilibrio.
Técnicamente esta división se realiza con el operador de proyección Zwanzig,[4] la herramienta esencial en la derivación.
La derivación no es completamente rigurosa porque se basa en suposiciones (plausibles) similares a las suposiciones requeridas en otros lugares en la mecánica estadística básica.
La ecuación de Langevin genérica entonces lee La fuerza fluctuante
En el caso de movimiento browniano, uno tendría
y no coeficiente de amortiguamiento
Un oscilador armónico no ideal se ve afectado por alguna forma de amortiguación, a partir de la cual se sigue a través del teorema de fluctuación-disipación de que debe haber algunas fluctuaciones en el sistema.
El movimiento determinista seguiría a lo largo de las trayectorias elipsoidales que no pueden cruzarse entre sí sin cambiar la energía.
un entorno de fluido molecular (representado por los términos de difusión y amortiguación), agrega y elimina continuamente la energía cinética del sistema, lo que hace que se extienda un conjunto inicial de osciladores estocásticos (círculos de puntos), que finalmente alcanzan el equilibrio térmico.
Existe una estrecha analogía entre la partícula Brownian paradigmática discutida anteriormente y el ruido de Johnson, el voltaje eléctrico generado por las fluctuaciones térmicas en cada resistencia.
[5] El diagrama a la derecha muestra un circuito eléctrico que consiste en una resistencia R y una capacitancia C. La variable lenta es la tensión U entre los extremos de la resistencia.
, y la ecuación de Langevin se convierte en Esta ecuación se puede utilizar para determinar la función de correlación que se convierte en un ruido blanco (ruido de Johnson) cuando la capacitancia C se vuelve despreciablemente pequeña.
La dinámica del parámetro de orden
El movimiento browniano sobredimensionado unidimensional es un ejemplo instructivo.
Esto se hace calculando explícitamente el promedio, donde el segundo término estaba integrado por partes (de ahí el signo negativo).
, debemos tener: recuperando así la distribución de Boltzmann.
Dichas funciones de correlación también pueden determinarse con otras técnicas (equivalentes).
La ecuación de Fokker-Planck correspondiente a la ecuación de Langevin genérica anterior se puede derivar con técnicas estándar.
El determinante funcional y las sutilezas matemáticas asociadas se eliminan si la ecuación de Langevin se discretiza de manera natural (causal), donde
Resulta conveniente introducir variables de respuesta auxiliares
