Integral de Daniell

En matemáticas, la integral Daniell es un tipo de integración que generaliza el concepto de versiones más elementales tales como la integral de Riemann a la que típicamente se introducen por primera vez los estudiantes.Sin embargo, un enfoque alternativo está disponible, desarrollado por Percy J. Daniell (1918) que no se ve afectada por esta dificultad, y tiene algunas ventajas significativas sobre la formulación tradicional, especialmente como la integral se generaliza a espacios de dimensiones superiores y otras generalizaciones tales como la integral de Stieltjes.La idea básica consiste en la axiomatización de la integral., que satisface estos dos axiomas: Además, todas las funciones h en H, se le asigna un número real, que se llama la integral elemental de h, que satisface de estos tres axiomas: Es decir, se define una función lineal no negativa continuaEstas funciones elementales y sus integrales elementales pueden ser cualquier conjunto de funciones y definiciones de las integrales sobre estas funciones que cumplen estos axiomas.La familia de todas las funciones escalonadas satisface evidentemente los axiomas anteriores para funciones elementales.Se define la integral elemental de la familia de funciones escalonadas como el área por debajo de una función que satisface, evidentemente, los axiomas dados para una integral elemental.La aplicación de la construcción de la integral Daniell se describe más adelante usando funciones escalonadas como funciones elementales lo que produce una definición equivalente de integral a la integral de Lebesgue.El uso de la familia de todas las funciones continuas como las funciones elementales y la tradicional integral de Riemann como la integral elemental también es posible, sin embargo, esto le dio una integral que también es equivalente a la definición de Lebesgue.Hacer lo mismo, pero usando la integral de Riemann-Stieltjes, junto con una función apropiada de variación acotada, da una definición equivalente a la integral de Lebesgue-Stieltjes., es un conjunto de medida cero si para todoNosotros decimos que si alguna propiedad se tiene en cada punto de un conjunto de medida completo (o equivalente en todas partes excepto en un conjunto de medida nula), que posee tal propiedad casi en todas partes.Aunque el resultado final es el mismo, diferentes autores construyen la integral de manera diferente.Un enfoque común es comenzar con la definición de una clase más amplia de funciones, basados en nuestras funciones elementales elegidas, la clase, que es la familia de todas las funciones que son el límite de una sucesión no decrecientese define como: Se puede demostrar que esta definición de la integral está bien definida, es decir, no depende de la elección de la secuenciaes, en general, no cerrado para la resta y la multiplicación escalar por los números negativos; hay que ampliar aún más por la definición de una clase más amplia de funcionesLa integral inferior se define de manera similar comoconsiste en aquellas funciones cuyos superiores e inferiores integrales son finitos y coinciden, y Una ruta alternativa, basada en un descubrimiento de Frederic Riesz, se toma en el libro de Shilov y Gurevich y en el artículo de la Enciclopedia de Matemáticas.se compone de esas funcionesque se puede representar en un conjunto de medida completa como la diferenciase puede definir como: Una vez más, se puede demostrar que está bien definido esta integral, es decir, que no depende de la descomposición deEsta resulta ser equivalente a la integral original de Daniell.Sus propiedades son idénticas a la integral de Lebesgue tradicional.Debido a la correspondencia natural entre conjuntos y funciones, también es posible usar la integral de Daniell para construir una Teoría de la Medida.de un conjunto, a continuación, su integral se puede tomar como la medida del conjunto.Las construcciones de Lebesgue y Daniell son equivalentes, como se señaló anteriormente, si las funciones escalonadas finito valuadas son elegidas como funciones elementales.Sin embargo, como se intenta ampliar la definición de la integral en dominios más complejos, se tienen dificultades prácticas que utilizan la construcción de Lebesgue, que se alivian con el enfoque de Daniell.El Lema de Mikusinski permite definir integral sin mencionar conjuntos nulos.