Lema de Fatou

En matemáticas, específicamente en teoría de la medida, el lema de Fatou (llamado así en honor al matemático francés Pierre Fatou), que es una consecuencia del teorema de convergencia monótona, establece una desigualdad que relaciona la integral (en el sentido de Lebesgue) del límite inferior de una sucesión de funciones con el límite inferior de las integrales de las mismas.

Es muy importante ya que nos permite manejar las sucesiones de funciones que no son monótonas y es usado en las demostraciones del teorema Fatou-Lebesgue y del teorema de convergencia dominada de Lebesgue.

es una sucesión de funciones integrables no negativas para las cuales entonces la función

, definida por es integrable y Sea

Así, por monotonía de la integral, tenemos que Ahora usando propiedades básicas de supremos, ínfimos y límites inferiores tenemos que

, pues el supremo y el ínfimo de funciones medibles es medible.

Por la misma razón,

también es medible y tiene sentido escribir su integral.

y, entonces, aplicando el teorema de convergencia monótona

y la desigualdad de arriba (tomando el límite cuando

tiende a infinito, notando que el lado derecho no depende de

{\displaystyle \int \liminf _{n}f_{n}d\mu =\int \lim _{m}g_{m}d\mu {\overset {\text{(TCM)}}{=}}\lim _{m}\int g_{m}d\mu \leq \liminf _{n}\int f_{n}d\mu }

, que es la desigualdad que queríamos demostrar.

una sucesión de funciones medibles no negativas que converge casi en todas partes a una función

tal que: Entonces, No podemos "mejorar" el teorema afirmando la igualdad entre ambas expresiones porque hay ejemplos de sucesiones de funciones en los que la desigualdad es estricta.

dotado de la medida de Lebesgue, donde

son las funciones indicatrices de

, de modo que

y no se tiene la igualdad.

La hipótesis de positividad de las funciones es necesaria.

Está claro que la demostración dada la utiliza, porque la positividad de las funciones es un hipótesis del teorema de la convergencia monótona, que se usa en la demostración, pero podrían existir a priori otras demostraciones que no usaran la hipótesis de positividad.

Sin embargo, el lema no es cierto en general para funciones no positivas, y un ejemplo en el que no se cumple es el siguiente: Sean

converge (uniformemente) en todo

hacia la función nula, de manera que

{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\liminf f_{n}\mathrm {d} \mu =0}

{\displaystyle \liminf \int _{\mathbb {R} }f_{n}\mathrm {d} \mu =-1}

, y esto es contrario al enunciado del lema de Fatou:

μ = 0 ≰ − 1 = lim inf

{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\liminf f_{n}\mathrm {d} \mu =0\not \leq -1=\liminf \int _{\mathbb {R} }f_{n}\mathrm {d} \mu }

Este también es un contraejemplo del hecho de poder intercambiar límites uniformes e integrales de Riemann en caso de que el dominio no sea compacto.