Hay varias razones por las que esta integral en particular es digna para prestarle atención: donde
La integral de la secante cúbica puede ser hallada por el método de integración por partes, en un principio se considera la igualdad: Y se procede por el método de integración por partes considerando que Entonces Si sumamos
a ambos lados de la igualdad y dado que obtenemos Por lo tanto Consideremos que donde
u = sen x
d u = cos x
Esta sustitución admite una descomposición por fracciones parciales como sigue entonces Si utilizamos linealidad de la integral entonces Integrales de la forma con
pueden ser reducidas utilizando la identidad trigonométrica
es par, las sustituciones hiperbólicas suelen ser usadas para evitar el uso del método de integración por partes, para así sólo reducir potencias de funciones hiperbólicas.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sec(x)&=\cosh(u)\\[6pt]\tan(x)&=\sinh(u)\\[6pt]\end{aligned}}}
d x = ln
se sigue directamente de esta sustitución.
Si se desea calcular para
, se sigue un proceso similar al cálculo de la integral de la secante cúbica, es decir, se utiliza integración por partes para reducir la potencia, el único problema es que si por ejemplo, deseamos calcular la integral de la secante elevada a la quinta potencia, en un momento necesitaremos calcular la integral de la secante cúbica.
Se desea calcular Comencemos considerando que Y procedemos por el método de integración por partes considerando que Entonces Uno puede demostrar utilizando integración por partes que la fórmula de reducción para la función secante está dada por: para