Sustitución de Weierstrass
[6] Michael Spivak escribió que este método era la "sustitución más ingeniosa" del mundo.
entonces Por lo tanto Se puede confirmar el resultado anterior usando un método estándar para evaluar la integral de la cosecante multiplicando el numerador y el denominador por
y realizando el siguiente cambio de variable Por lo que Ahora, las fórmulas del ángulo mitad para senos y cosenos son respectivamente y permiten obtener por lo que los dos resultados son equivalentes.
En la primera línea, no se sustituye simplemente
Se debe tener en cuenta la singularidad (en este caso, una asíntota vertical) de
Alternativamente, primero se debe evaluar la integral indefinida y luego aplicar los valores del intervalo.
Por simetría, que es igual al resultado anterior.
El punto da una sola vuelta a la circunferencia, ya que t recorre de −∞a +∞, y nunca alcanza el punto (−1, 0), que se aproxima como un límite cuando t se acerca a ±∞.
Como t recorre desde −∞ a −1, el punto determinado por t pasa por la parte de la circunferencia en el tercer cuadrante, desde (−1, 0) a (0, −1).
A medida que t va de 0 a 1, el punto sigue la parte de la circunferencia en el primer cuadrante desde (1, 0) hasta (0, 1).
Finalmente, cuando t va de 1 a +∞, el punto sigue la parte de la circunferencia en el segundo cuadrante desde (0, 1) a (−1, 0).
También existe otro punto de vista geométrico.
Para ello, se debe dibujar el círculo unitario y hacer que P sea el punto (−1, 0).
Una recta que pasa por P (excepto la línea vertical) está determinada por su pendiente.
Además, cada una de las líneas rectas (excepto la vertical) se cruza con el círculo unitario en exactamente dos puntos, uno de los cuales es P. Esto determina una función que relaciona los puntos en el círculo unitario con las pendientes de las rectas que pasan por ellos.
Al igual que con otras propiedades compartidas entre las funciones trigonométricas y las funciones hiperbólicas, es posible usar las identidades hiperbólicas para construir una forma similar de sustitución:
