La sustitución de Euler es un método para evaluar integrales de la forma donde
+ b x + c
En tales casos, el integrando se puede cambiar a una función racional usando las sustituciones de Euler.
[1] La primera sustitución de Euler se utiliza cuando
Se tiene que y el término
En esta sustitución, se puede elegir el signo positivo o el signo negativo.
de manera similar al caso anterior y entonces Nuevamente, se puede elegir el signo positivo o negativo.
+ b x + c
, se puede elegir Esto produce y como en los casos anteriores, se puede expresar el integrando entero racionalmente en
En la integral de 2do grado para poder analizar
se puede usar la primera sustitución y establecer
, así En consecuencia, se obtiene: Con
usando la primera sustitución de Euler,
Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación se obtiene
, a partir de lo que los términos en
Resolviendo la ecuación, se obtiene
A partir de ahí, resulta que los diferenciales
están relacionados por Por lo tanto, En la integral se puede usar la segunda sustitución y configurar
Así y En consecuencia, se obtiene: Para evaluar se puede usar la tercera sustitución y configurar
Así y A continuación, Como se puede ver, esta es una función racional que se puede resolver usando fracciones parciales.
Las sustituciones de Euler se pueden generalizar permitiendo el uso de números imaginarios.
Las extensiones a los números complejos permiten usar todo tipo de sustituciones de Euler independientemente de los coeficientes de la expresión cuadrática.
Las sustituciones de Euler se pueden generalizar a una clase más amplia de funciones.
Considérense las integrales de la forma donde
son funciones racionales de
+ b x + c
Esta integral se puede transformar mediante la sustitución
+ b x + c
ahora son simplemente funciones racionales de
En principio, utilizando la factorización y la descomposición en fracciones simples se puede dividir la integral en términos simples, que se pueden integrar analíticamente mediante el uso de la función dilogaritmo.