Derivada de la función inversa

En matemática, la inversa de una función biyectiva

es una función que a cada elemento

, de forma que

(ver el artículo función inversa para una definición formal).

Sus respectivas derivadas, asumiendo que existen, son recíprocas, tal y como se deduce a partir de la notación de Leibniz: Eso es una consecuencia directa de la regla de la cadena, ya que y la derivada de

Escribiendo explícitamente la dependencia de

y el punto donde se calcula la derivada y usando la notación de Lagrange, la fórmula de la derivada de la inversa es Geométricamente, una función y su inversa tienen gráficas que son reflexiones respecto la recta

Esta reflexión transforma el gradiente de cualquier línea en su recíproco.

y que su derivada en este punto es distinta de cero, su inversa será diferenciable en

y que su derivada viene dada por la expresión anterior.

Si para la función y = f(x) existe una función inversa x = h(y) tal que en un punto tiene derivada h'(y) y no nula, entonces la función y = f(x) , en el punto correspondiente x, tiene derivada f'(x) igual a 1/ h'(y), o sea, se cumple la fórmula En

, sin embargo, hay un problema: el gráfico de la función raíz cuadrada es vertical, correspondiendo a una tangente horizontal de la función

Integrando la relación, obtenemos Eso solamente es útil si la integral existe.

De aquí se deduce que una función con derivada continua tiene inverso en el entorno de cualquier punto que tenga derivada distinta de cero.

Eso podría no ser cierto si la derivada no fuese continua.

La regla de la cadena dada arriba se obtiene derivando la identidad

Podemos seguir el mismo proceso para derivadas superiores.

Diferenciando la relación respecto

dos veces, obtenemos o sustituyendo la primera derivada usando la fórmula de arriba, De la misma manera, para la tercera derivada: o utilizando la fórmula para la segunda derivada, La fórmula de Faà di Bruno generaliza estas fórmulas.