Dimensión de Minkowski-Bouligand
Para calcular esta dimensión para un fractal S, se debe situar este fractal sobre una cuadrícula espaciada uniformemente y contar cuántas cajas se requieren para recubrir el conjunto.
Entonces, la dimensión de recuento de cajas se define como:[1] En términos generales, esto significa que la dimensión es el exponente d tal que N(1 /n) ≈ C nd, que es lo que se esperaría en el caso trivial donde S es un espacio uniforme (una variedad) de dimensión entera d. Si el límite anterior no existe, aún se pueden tomar el límite superior y el límite inferior, que definen respectivamente la dimensión de cajas superior y la dimensión de cajas inferior.
Solo en aplicaciones muy especiales es importante distinguir entre los tres criterios (véase abajo).
También se puede considerar el número de cobertura intrínseco
Si bien N, Nrecubrimiento, N'recubrimiento y Nempaquetamiento no son exactamente idénticos, están estrechamente relacionados y dan lugar a definiciones idénticas de los límites de cajas superior e inferior.
Esto es fácil de comprobar una vez que se demuestran las siguientes desigualdades: Estos, a su vez, se deducen con relativa facilidad a partir de la desigualdad triangular.
La ventaja de usar bolas en lugar de cajas es que esta definición se generaliza a cualquier espacio métrico.
En otras palabras, la definición de caja es extrínseca — se asume que el espacio fractal S está contenido en un espacio euclídeo, y define cajas de acuerdo con la geometría externa del espacio contenedor.
Sin embargo, la dimensión de S debe ser intrínseca, independientemente del entorno en el que se coloque S, y la definición de la bola se puede formular intrínsecamente.
El logaritmo de los números de empaquetamiento y recubrimiento se denominan a veces números de entropía, y son análogos a los conceptos de entropía en termodinámica y en teoría de la información, ya que miden la cantidad de desorden en el espacio métrico o fractal a escala ε, y también permiten medir cuántos bits o dígitos se necesitarían para especificar un punto del espacio con precisión ε.
Otra definición equivalente (extrínseca) para la dimensión del recuento de cajas viene dada por la fórmula: donde para cada r > 0, el conjunto
Una propiedad interesante de la dimensión del cuadro superior que no se comparte ni con la dimensión del cuadro inferior ni con la dimensión de Hausdorff es la conexión con la suma de conjuntos.
Para muchos fractales que se comportan bien, todas estas dimensiones son iguales; en particular, estas dimensiones coinciden siempre que el fractal satisface la condición de conjunto abierto.
Las dimensiones del recuento de cajas y la dimensión de Hausdorff están relacionadas por la desigualdad:[3] En general, ambas desigualdades pueden ser estrictas.
La dimensión de las cajas superior puede ser mayor que la dimensión de las cajas inferior si el fractal tiene un comportamiento diferente en distintas escalas.
Por ejemplo, el conjunto de números en el intervalo [0,1] que satisfacen la condición Los dígitos de los "intervalos de lugar impares", es decir, entre los dígitos 22n+1 y 22n+2 − 1 no están restringidos y pueden tomar cualquier valor.
