La dimensión de Hausdorff o dimensión de Hausdorff-Besicovitch es una generalización métrica del concepto de dimensión de un espacio topológico, que permite definir una dimensión fraccionaria (no entera) para un objeto fractal.La medida fue introducida hacia 1917 por Felix Hausdorff, aunque fue estudiada mucho más extensivamente por Abram Besicovitch, a quien se deben la mayoría de los resultados teóricos y teoremas concernientes tanto a la medida de Hausdorff como a la dimensión fractal.un conjunto arbitrario de índices.un número no negativo.en donde el ínfimo se toma sobre todos losEs posible verificar quees de hecho una medida exterior en-dimensional de Hausdorff del conjunto{\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(F)=\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}{\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(F)}Este límite existe, sin embargo, comoes una medida exterior, así que, por el Teorema de Carathéodory, la restricción de-medibles es de hecho una medida, llamada medida s-dimensional de Hausdorff.La medida de Hausdorff generaliza la idea de longitud, área y volumen.La medida de dimensión cero cuenta el número de puntos en un conjuntos si el conjunto es finito, o es infinita si el conjunto lo es.La medida unidimensional mide la longitud de una curva suave enLa medida bidimensional de un conjunto enes proporcional a su área y análogamente la medida tridimensional de un conjunto en(ver figura) muestra que existe un valor crítico de{\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(F)}puede explicarse de la siguiente manera: Se cubre el conjuntocon infinitos conjuntos de diámetro pequeñoy se calcula la suma de dichos diámetros elevados a laes pequeño, dichas potencias tienden alo cual produce que la suma diverja.-ésimas potencias tienen a cero y la suma tiende a anularse.La dimensión de Hausdorff se define como:La dimensión de Hausdorff-Besicovitch siendo similar numéricamente a otras dimensiones fractales, en general resulta no mayor que todas ellas, siendo para la mayoría de fractales clásicos coincidente con el resto de dimensiones fractales (generalmente más sencillas de calcular).De hecho ha podido demostrarse la siguiente cadena de desigualdades:{\displaystyle D_{T}\leq D_{HB}\leq D_{MB}\leq D_{E}\leq D_{C}\,}se conoce como desigualdad de Szpilrajn y es uno de los principales resultados de la geometría fractal.
Ejemplo de estimación de la dimensión de Hausdorff-Besicovitch para la
costa de gran Bretaña
Contenido de Hausdorff de un conjunto: para valores de la dimensión inferiores a la dimensión de Haussdorff el contenido de Hausdorff es infinito, para valores superiores el contenido es cero. Solo para un valor igual a la dimensión de Hausdorff el contenido es una cantidad positiva y finita.
