En matemáticas, una medida completa (o, más precisamente, un espacio de medidas completo) es un espacio de medidas en el que cada subconjunto de cada conjunto nulo es medible (teniendo medida cero).
Más formalmente, un espacio de medida (X, Σ, μ) está completo si y sólo si [1] [2] La necesidad de considerar cuestiones de completitud se puede ilustrar considerando el problema de los espacios de productos.
Supongamos que ya hemos construido la medida de Lebesgue en la recta real: denotamos este espacio de medidas por
Ahora deseamos construir alguna medida de Lebesgue bidimensional.
el álgebra 𝜎 más pequeña que contiene todos los "rectángulos" medibles
Si bien este enfoque define un espacio de medidas, tiene un defecto.
Dado que cada conjunto singleton tiene una medida de Lebesgue unidimensional cero,
es un subconjunto no medible de la línea real, como el conjunto de Vitali.
y este conjunto más grande tiene
Por lo tanto, esta "medida de Lebesgue bidimensional", tal como se acaba de definir, no está completa y se requiere algún tipo de procedimiento de finalización.
Dado un espacio de medida (posiblemente incompleto) (X, Σ, μ), hay una extensión (X, Σ0, μ0) de este espacio de medida que está completo.
[3] La extensión más pequeña (es decir, la σ -álgebra Σ 0 más pequeña) se llama compleción del espacio de medidas.
La terminación se puede construir de la siguiente manera: Entonces (X, Σ0, μ0) es un espacio de medida completo y es la finalización de (X, Σ, µ).
En la construcción anterior se puede demostrar que cada miembro de Σ 0 es de la forma A ∪ B para algunos A ∈ Σ y algo de B ∈ Z, y El teorema de Maharam establece que todo espacio de medidas completo se puede descomponer en medidas continuas y una medida de conteo finita o contable.