n-esfera

En otras palabras, la n-esfera es una hipersuperficie del espacio euclídeo

Desde un punto de vista analítico, una n-esfera es un espacio topológico que es homeomorfo a una n-esfera estándar, que es el conjunto de puntos en un espacio euclídeo (n+1)-dimensional que se encuentran a una distancia constante r respecto a un punto fijo, llamado centro.

La dimensión de una n-esfera es n, y no debe confundirse con la dimensión (n+1) del espacio euclídeo en el que queda naturalmente embebida.

Una n-esfera es la superficie o límite de una bola (n+1) dimensional.

En particular: Para n≥2, las n-esferas que son variedades diferenciables pueden caracterizarse (hasta un difeomorfismo) como variedades n-dimensionales conexas de curvatura constante y positiva.

Las n-esferas admiten varias otras descripciones topológicas: por ejemplo, se pueden construir pegando dos espacios euclídeos n-dimensionales, identificando el límite de un n-cubo con un punto, o (inductivamente) formando la suspensión de una (n-1)-esfera.

Dado un espacio euclídeo E de dimensión n+1, A un punto de E, y R un número real estrictamente positivo, se le llama hiperesfera de centro A y radio R al conjunto de puntos M tales que su distancia a A vale exactamente R. La n+1-tupla de puntos (x1,x2,…,xn+1) que están en una n-esfera (Sn) se representa con la ecuación:

llamado centro y el radio R, real positivo, siendo

Para cualquier número natural n, una n-esfera de radio r se define como el conjunto de puntos en el espacio euclídeo (n+1)-dimensional que están a una distancia r de un punto fijo c, donde r puede ser cualquier número real positivo y donde c puede ser cualquier punto en el espacio (n+1) dimensional.

En particular: El conjunto de puntos en el espacio (n+1), (x1, x2, ..., xn+1), que definen una n-esfera,

, está representado por la ecuación: donde c = (c1, c2, ..., cn+1) es un punto central y r es el radio.

La n-esfera anterior existe en el espacio euclídeo (n+1)-dimensional y es un ejemplo de n-variedad.

Específicamente: Topológicamente, una n-esfera se puede construir como una compactación en un punto del espacio euclídeo n-dimensional.

Brevemente, la n-esfera puede describirse como Sn = Rn ∪ {∞}, que es un espacio euclídeo n-dimensional más un único punto que representa el infinito en todas las direcciones.

Esta circunstancia sustenta la base de la proyección estereográfica.

[4]​ Vn(R) y Sn(R) son el volumen n-dimensional de una n-bola y el área de la superficie de la n-esfera incrustada en la dimensión n+1, respectivamente, ambas de radio R. Las constantes Vn y Sn (para R = 1, la bola unitaria y la esfera) están relacionadas por las recurrencias: Las superficies y los volúmenes también se pueden dar en forma cerrada: donde Γ es la función gamma.

Las deducciones de estas ecuaciones se dan en esta sección.

En el caso de que R=1 el volumen máximo se obtiene cuando n=5.

Siendo r = cos θ y r2 + R2 = 1, de modo que R = sen θ y dR = cos θ dθ, entonces: Desde S1 = 2π V0, la ecuación se cumple para todos los n. Esto completa la deducción de las recurrencias: Combinando las recurrencias, se puede ver que Entonces, es simple mostrar por inducción que para k, donde !

denota el doble factorial, definido para números naturales impares 2k + 1 por (2k + 1)!!

Multiplicando Vn por Rn, diferenciando con respecto a R, y luego configurando R = 1, se obtiene la forma cerrada Las recurrencias se pueden combinar para dar una relación de recurrencia de "dirección inversa" para el área de la superficie, como se muestra en el diagrama: El cambio del índice n a n-2 produce las relaciones de recurrencia siguientes: donde S0 = 2, V1 = 2, S1 = 2π y V2 = π.

La relación de recurrencia para Vn también se puede probar a través de la integración con coordenadas polares bidimensionales: Se puede definir un sistema de coordenadas en un espacio euclídeo n-dimensional que es análogo al sistema de coordenadas esféricas definido para el espacio euclídeo tridimensional, en el que las coordenadas consisten en una coordenada radial r, y las coordenadas angulares n-1 φ1, φ2, ... φn−1, donde los ángulos φ1, φ2, ... φn−2 se extienden sobre [0,π) radianes (o entre [0,180] grados) y φn−1 varía sobre [0,2π) radianes (o entre [0,360) grados).

Si xi son las coordenadas cartesianas, entonces se puede calcular x1, ... xn a partir de r, φ1, ... φn−1 con:[5]​ Excepto en los casos especiales descritos a continuación, la transformación inversa es única: donde si xk ≠ 0 para algunos k pero todos xk+1, ... xn son cero, entonces φk = 0 cuando xk > 0 y φk = π (180 grados) cuando xk < 0.

Hay algunos casos especiales donde la transformación inversa no es única; φk para cualquier k será ambiguo siempre que todos los xk, xk+1, ... xn sean cero; en este caso, φk puede elegirse como cero.

Al igual que una esfera bidimensional incrustada en tres dimensiones se puede representar en un plano bidimensional mediante una proyección estereográfica, una n-esfera se puede representar en un hiperplano n-dimensional mediante la versión n-dimensional de la proyección estereográfica.

En otras palabras, Del mismo modo, la proyección estereográfica de una n-esfera Sn−1 de radio 1 se correlacionará con el hiperplano dimensional (n-1) Rn−1 perpendicular al eje xn como Para generar puntos aleatorios distribuidos uniformemente en la (n-1)-esfera unidad (es decir, la superficie de la n-bola unidad),Marsaglia (1972) proporciona el siguiente algoritmo: Genérese un vector n-dimensional de distribución normal (es suficiente usar N(0, 1), aunque en realidad la elección de la varianza es arbitraria), x = (x1, x2,... xn).

Una alternativa dada por Marsaglia es seleccionar uniformemente al azar un punto x = (x1, x2,... xn) en el n-cubo unidad, muestreando cada xi independientemente de la distribución uniforme continua sobre (–1,1), calculando r como arriba, y rechazando el punto y remuestreando si r ≥ 1 (es decir, si el punto no está en la n-bola), y cuando se obtiene un punto en la bola, se escala hacia la superficie esférica por el factor 1/r; de forma que de nuevo 1/rx se distribuye uniformemente sobre la superficie de la n-bola unidad.

Con un punto seleccionado al azar uniformemente desde la superficie de la (n-1)-esfera unidad (por ejemplo, usando el algoritmo de Marsaglia), se necesita solo un radio para obtener un punto uniformente al azar desde dentro de la n-bola unidad.

Si u es un número generado uniformemente al azar en el intervalo [0, 1] y x es un punto seleccionado uniformemente al azar de la (n-1)-esfera unidad, entonces u(1/n)x se distribuye uniformemente dentro de la n-bola unidad.

En particular, si (x1,x2,...,xn+2) es un punto seleccionado uniformemente de la (n+1)-esfera unidad, entonces (x1,x2,...,xn) se distribuye uniformemente dentro de la n-bola unidad (es decir, simplemente descartando dos coordenadas).