Volumen de una n-bola

Una n-bola, como su nombre indica, es una región esférica n-dimensional definida en el espacio euclídeo.Estos son: En la fórmula para volúmenes de dimensiones impares, el doble factorial (2k + 1)!!Aquí, el nuevo factor es proporcional a un cociente de funciones gamma.La desigualdad de Gautschi limita este cociente a n−1/2 como cota superior.El argumento concluye como antes demostrando que los volúmenes disminuyen al menos geométricamente.Implica el análisis asintótico: El error en esta aproximación es un factor de 1 + O(n−1).Dado que el volumen de una bola con radio positivo fijo tiende a cero cuando n → ∞, el volumen máximo se alcanza para algún valor de n. La dimensión en la que esto sucede depende del radio R. Para encontrar el n para el cual se verifica el máximo, se interpola la funciónSin embargo, es suave, por lo que las técnicas de cálculo se pueden utilizar para encontrar máximos.Debido a que el logaritmo está aumentando monótonamente, los puntos críticos deLos puntos críticos de V(x, R) por lo tanto se dan en las soluciones de Debido a que la función gamma es logarítmicamente convexa en el eje real positivo, la función digamma está aumentando monótonamente allí, por lo que la ecuación anterior tiene como máximo una solución.Se deduce que x0 es el máximo único de V(x, R) y que el máximo de n ↦ Vn(R) está contenido en el conjuntoSe pueden obtener estimaciones más explícitas, aunque menos precisas, al delimitar la función digamma.Para y > 1, la función digamma satisface:[2]​ donde γ es la constante de Euler-Mascheroni., este intervalo contiene como máximo tres enteros y, a menudo, solo dos.Un examen de la tabla anterior muestra que se logra en el límite inferior, en la dimensión n = 5., entonces los límites son ⌊5.90⌋ ≤ n ≤ ⌈6.02⌉, por lo que el intervalo de n posible contiene tres enteros, y el máximo de Vn(R) y V(x, R) se alcanza en el entero x0 = 6.Este es un caso especial de un hecho general sobre los volúmenes en el espacio n-dimensional: si K es un cuerpo (conjunto medible) en ese espacio y RK es el cuerpo obtenido al expandirlo en todas las direcciones por el factor R, entonces el volumen de RK es igual a Rn multiplicado por el volumen de K. Esta es una consecuencia directa del cambio de variables en las fórmulas: donde se realizó dx = dx1…dxn y la sustitución x = Ry.Otra prueba de la relación anterior, que evita la integración multidimensional, utiliza la inducción: el caso base es n = 0, donde la proporcionalidad es obvia.Para el caso inductivo, supóngase que la proporcionalidad es verdadera en la dimensión n − 1.Téngase en cuenta que la intersección de una n-bola con un hiperplano es una (n − 1)-bola.Disponiendo un plano a través del centro de la bola, r denota la distancia entre un punto en el plano y el centro de la esfera, y θ denota el acimut.Se puede usar la misma técnica para proporcionar una prueba inductiva de la fórmula del volumen.Aplicar esta relación da: El uso del valor Γ(1/2) = √π proporciona la fórmula de recursión unidimensional: Al igual que con la fórmula recursiva de dos dimensiones, se puede utilizar la misma técnica para proporcionar una prueba inductiva de la fórmula del volumen.Como se señaló anteriormente, debido a que una bola de radioEl volumen se conserva porque en cada punto, la diferencia con isometría es un estiramiento en el plano xy (constante) que coincide exactamente con la compresión en la dirección del gradiente de, Arquímedes utilizó originalmente un argumento similar en su obra Sobre la Esfera y el Cilindro.También hay expresiones explícitas para los volúmenes de bolas en normas Lp.La norma Lp del vector x = (x1, …, xn) en Rn es: y una Lp-bola es el conjunto de todos los vectores cuya norma Lp es menor o igual a un número fijo llamado radio de la bola.Esto se puede ver simplemente aplicando el teorema de la divergencia al campo vectorial F(x) = x para obtener Para otros valores de p, la constante es una integral muy complicada.