Integral de Gauss

sobre toda la recta de los números reales.

Debe su nombre al matemático y físico alemán Carl Friedrich Gauss, y su valor es: Esta integral tiene amplias aplicaciones, incluyendo normalización, en teoría de la probabilidad y transformada continua de Fourier.

También aparece en la definición de la función error.

No existe ninguna función elemental para la función error, como se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch, por lo que la integral Gaussiana no puede ser resuelta analíticamente con las herramientas del cálculo.

O sea, no existe una integral indefinida elemental para pero sí es posible evaluar la integral definida La forma más común de calcular la integral de Gauss es mediante integración doble en el sistema cartesiano de coordenadas, para después hacer un cambio de coordenadas a coordenadas polares y calcular el valor.

Se procede de la siguiente manera: Se define como la integral que queremos calcular.

con ella misma y mediante el Teorema de Fubini podemos expresar la integral como Procedemos a realizar un cambio de variables a coordenadas a polares: donde el factor

es consecuencia de calcular el determinante del cambio de variable de coordenadas cartesianas a polares, y

aparece al hacer un cambio de variable tal que

Así obtenemos por lo tanto Una técnica diferente para calcular el valor de la integral gaussiana es la siguiente.

, es una función par por lo que entonces Sea entonces Por lo tanto La función gamma está dada por y un resultado destacado de esta función es cuando

pues considerando este resultado veamos qué relación tiene con la integral gaussiana, comencemos considerando que pues

Al hacer el cambio de variable

, más generalmente La integral de una función Gaussiana arbitraria es con

Una forma alternativa es Esta expresión es útil para calcular momentos de algunas distribuciones de probabilidad continuas relacionadas con la distribución normal, como la distribución log-normal.