En su disertación, Conexiones entre topología y métrica de variedades (en alemán Über Zusammenhänge zwischen Topologie und Metrik von Mannigfaltigkeiten), demostró que cualquier 3-variedad riemanniana completa simplemente conexa de curvatura seccional constante es globalmente isométrica a un espacio euclídeo, esférico o hiperbólico.

También estudió los índices nulos de campos vectoriales en hipersuperficies y conectó su suma con la curvatura.

Hopf pasó el año posterior a su doctorado en la Universidad de Gotinga, donde trabajaban David Hilbert, Richard Courant, Carl Runge y Emmy Noether.

Mientras estuvo allí conoció a Pável Aleksándrov y comenzó una amistad que mantendría de por vida.

Pasó el año académico 1927/28 con Alexandrov en la Universidad de Princeton gracias a una beca Rockefeller.

Solomon Lefschetz, Oswald Veblen y J. W. Alexander estaban todos en Princeton en ese momento.