En ingeniería de control, el control clásico se analiza por conveniencia en el dominio de la frecuencia, y está limitado a sistemas lineales con una única entrada y una única salida.
La representación de espacios de estado proporciona un modo compacto y conveniente de modelar y analizar sistemas con múltiples entradas y salidas, tanto para sistemas lineales como no lineales.
Las variables de entradas, salidas y estados son convenientemente expresadas como vectoresː un vector de entrada, un vector de salida y un vector de estados; y si el sistema dinámico es lineal e invariante en el tiempo, las ecuaciones algebraicas se escriben en forma matricial.
Las variables de estado deben ser independientes entre sí.
variables de estado se escribe de la siguiente forma: donde Nótese que en esta formulación general se supone que todas las matrices son variantes en el tiempo, p.
En los sistemas invariantes en el tiempo las matrices A, B, C y D son constantes, no son función de t. La variable temporal
): en este último caso la variable temporal es generalmente indicada como
La estabilidad y la respuesta natural característica de un sistema puede ser estudiado mediante los autovalores (o valores propios) de la matriz
Tendría una forma parecida a la siguiente: El denominador de la función transferencia es igual al polinomio característico encontrado tomando el determinante de
, Las raíces de este polinomio (los autovalores) proporcionan los polos en la función transferencia del sistema.
Dichos polos pueden ser utilizados para analizar si el sistema es asintótica o marginalmente estable.
Otra alternativa para determinar la estabilidad, en la cual no involucra los cálculos de los autovalores, es analizar la estabilidad de Liapunov del sistema.
puede usarse de manera similar para determinar si el sistema posee una fase mínima.
El sistema podría ser estable con respecto a sus entradas y salidas aun si es internamente inestable.
Este podría ser el caso si polos inestables son cancelados por ceros.
La observabilidad y la controlabilidad son matemáticamente duales.
Cualquier función transferencia que es estrictamente propia puede ser escrita como un espacio de estados con la siguiente aproximación: Dada una función transferencia, expandirla para revelar todos los coeficientes en el numerador y en el denominador.
Resultando en la siguiente forma: Los coeficientes pueden ser ahora insertados directamente en el modelo de espacio de estados mediante la siguiente aproximación: Esta realización del espacio de estado se denomina forma canónica controlable porque garantiza que el modelo resultante es controlable (es decir, dado que el control entra en una cadena de integradores, puede modificar todos y cada uno de los estados).
Los coeficientes de la función transferencia pueden ser usados también para construir otro tipo de forma canónica Esta disposición se denomina forma canónica observable y, análogamente al caso anterior, el modelo resultante es necesariamente observable (esto es, al proceder la salida de una cadena de integradores, su valor se ve afectado por todos y cada uno de los estados).
Las funciones transferencia que son solo propias (y no estrictamente propias) pueden también transformadas a las formas canónicas.
El artificio utilizado es el de separar la función transferencia en dos partes, una estrictamente propia y una constante.
La función transferencia estrictamente propia puede ser ahora transformada a las representaciones de espacio de estados canónicas utilizando las técnicas mostradas anteriormente.
Juntando ambos términos obtenemos las representaciones de espacio de estados con las matrices A, B y C determinadas por la parte estrictamente propia y la matriz D determinada por la constante.
Aquí un ejemplo para aclarar: lo que conduce a la siguiente representación controlable Nótese como la salida depende directamente de la entrada.
Un método utilizado para realimentar es el de multiplicar la salida por una matriz K y colocar el resultado como la entrada del sistema:
La presencia de un signo negativo (la notación común) es únicamente con fines de notación y su ausencia no afecta los resultados.
Esto asume que el sistema de lazo abierto es controlable o que los valores propios inestables de A pueden estabilizarse mediante la elección apropiada de K. Una simplificación común de este sistema es eliminar D y elegir C igual a la unidad, lo que reduce las ecuaciones a Esto reduce la descomposición de los valores propios a solo