En matemáticas, la noción de estabilidad de Liapunov se da en el estudio de los sistemas dinámicos.
De manera esquemática, diremos que un punto de equilibrio
de la ecuación diferencial homogénea
es estable si todas las soluciones a la ecuación que parten en un entorno de
se mantienen cerca de
Esta definición de estabilidad lleva el nombre de Aleksandr Liapunov, quien publicó en 1892 su tesis de doctorado El problema general de la estabilidad del movimiento, donde define este concepto.
un campo de vectores en una variedad diferenciable
Veamos que es asintóticamente estable.
entonces la solución de la ecuación con condición
Es fácil ver que para todo
tendremos que esa solución es decreciente y tiende a 0 cuando
Veamos que no es estable.
entonces la solución a la ecuación con condición
sirve para la definición de estabilidad: dado
Veamos que el origen es un punto de equilibrio estable pero no asintóticamente estable.
Por lo tanto, toda solución que parte a distancia
del origen se mantendrá a distancia
Esto implica que el origen es estable pero no asintóticamente.
, se conoce una clasificación completa de los casos en que el origen es un punto de equilibrio estable o asintóticamente estable, estudiando sus valores propios.
tiene todos sus valores propios con parte real negativa entonces el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable.
Si la matriz tiene algún valor propio con parte real positiva entonces el origen no es estable.
tenga valores propios con parte real nula se sabe que el origen no es asintóticamente estable.
Para ver si es estable debemos estudiar las multiplicidades geométricas de dichos valores propios.
Cuando la matriz tiene valores propios con parte real menor o igual a cero tendremos que: el origen es estable si y solo para todo valor propio
con parte real 0 se tiene que la multiplicidad algebraica de
puede utilizarse su aproximación lineal en algunos casos.
no tiene valores propios con parte real nula, entonces
es (asintóticamente) estable si y solo si el origen es (asintóticamente) estable para la ecuación
solución a la ecuación diferencial, la derivada de
Existen dos resultados debidos a Liapunov que conciernen este tipo de funciones: