Estabilidad de Liapunov

En matemáticas, la noción de estabilidad de Liapunov se da en el estudio de los sistemas dinámicos.De manera esquemática, diremos que un punto de equilibriode la ecuación diferencial homogéneaes estable si todas las soluciones a la ecuación que parten en un entorno dese mantienen cerca deEsta definición de estabilidad lleva el nombre de Aleksandr Liapunov, quien publicó en 1892 su tesis de doctorado El problema general de la estabilidad del movimiento, donde define este concepto.un campo de vectores en una variedad diferenciableVeamos que es asintóticamente estable.entonces la solución de la ecuación con condiciónEs fácil ver que para todotendremos que esa solución es decreciente y tiende a 0 cuandoVeamos que no es estable.entonces la solución a la ecuación con condiciónsirve para la definición de estabilidad: dadoVeamos que el origen es un punto de equilibrio estable pero no asintóticamente estable.Por lo tanto, toda solución que parte a distanciadel origen se mantendrá a distanciaEsto implica que el origen es estable pero no asintóticamente., se conoce una clasificación completa de los casos en que el origen es un punto de equilibrio estable o asintóticamente estable, estudiando sus valores propios.tiene todos sus valores propios con parte real negativa entonces el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable.Si la matriz tiene algún valor propio con parte real positiva entonces el origen no es estable.tenga valores propios con parte real nula se sabe que el origen no es asintóticamente estable.Para ver si es estable debemos estudiar las multiplicidades geométricas de dichos valores propios.Cuando la matriz tiene valores propios con parte real menor o igual a cero tendremos que: el origen es estable si y solo para todo valor propiocon parte real 0 se tiene que la multiplicidad algebraica depuede utilizarse su aproximación lineal en algunos casos.no tiene valores propios con parte real nula, entonceses (asintóticamente) estable si y solo si el origen es (asintóticamente) estable para la ecuaciónsolución a la ecuación diferencial, la derivada deExisten dos resultados debidos a Liapunov que conciernen este tipo de funciones: