Función continuamente diferenciable

Funciones que tienen derivadas de todos los órdenes son llamadas infinitamente diferenciables, es decir que tiene derivadas parciales de cualquier orden.Por ejemplo, las funciones exponenciales son evidentemente funciones infinitamente diferenciables porque sus derivadas son siempre derivables.Considere un conjunto abierto en la recta real y una funciónse dice que es de clasees continuamente diferenciable y es igual a la serie de Taylor expandida alrededor de un punto en su dominio.Usualmente, es útil construir funciones continuamente diferenciables que toman el valor cero fuera de un intervalo dado, pero no dentro de él.Esto es posible; por otra parte, es imposible que una serie de potencias pueda tener esa propiedad.Esto prueba que existe un gran salto entre funciones continuamente diferenciables y funciones analíticas; y que en general las funciones continuamente diferenciables no son necesariamente iguales a sus series de Taylor.Para dar una construcción explícita de dichas funciones, podemos comenzar con la siguiente función No sólo se tiene que sino que también se tiene para cualquier polinomio; ya que el crecimiento exponencial con exponente negativo domina.Se sigue que todas las derivadas de f(x) en cero, son iguales a cero: lo cual significa que fijando f(x) = 0 para x ≤ 0 genera una función continuamente diferenciable.Combinaciones tales como f(x)f(1-x) pueden ser hechas con cualquier intervalo requerido como soporte; en este caso el intervalo [0,1].En un dominio acotado D en un espacio euclídeo, el conjunto de funcionessin embargo, el conjunto de las funciones continuamente diferenciablesPensando en términos de análisis complejo, una función como puede ser es continuamente diferenciable para valores reales de z , pero tiene una singularidad en z = 0.Esto es, el comportamiento cerca de z = 0 es malo; pero sucede que uno no puede verlo generalmente, ya que se suele trabajar con números reales.Un caso simple es el de una función bulto en la recta real, esto es, una función continuamente diferenciable f que toma el valor 0 fuera del intervalo [a,b] y que cumple que: Dado un número de intervalos solapados en la recta real, las funciones bulto pueden ser construidas en cada uno de ellos, y en los semi-intervalos (-∞, c] y [d,+∞) para cubrir la recta entera, tal que la suma de las funciones sea siempre 1.En cambio, los haces de funciones continuamente diferenciables tienden a no dar mucha información topológica.