En matemáticas, el álgebra diferencial comprende el estudio de los anillos diferenciales, los campos diferenciales y las álgebras diferenciales con anillos, campos, y álgebras dotadas de un número finito de derivaciones, que son funciones unarias que son lineales y satisfacen la regla del producto de Leibniz.
Un ejemplo natural de campo diferencial es el campo de las funciones racionales en una variable sobre los números complejos,
Álgebra diferencial se refiere también al área de las matemáticas que consiste en el estudio de estos objetos algebraicos y su uso en el estudio algebraico de las ecuaciones diferenciales.
El álgebra diferencial fue introducida por Joseph Ritt en 1950.
dotado de una o más derivaciones, que son homomorfismos de grupos aditivos
satisface la regla del producto de Leibniz: para cada
de la regla del producto en entornos conmutativos puede ser falsa.
es una multiplicación en el anillo, la regla del producto es la identidad donde
significa la función que mapea un par
( f ( x ) , g ( y ) ) .
{\displaystyle (f(x),g(y)).}
La conocida fórmula para diferenciar fracciones: se deduce de la regla del producto.
En efecto, debemos tener Por la regla del producto, Resolviendo con respecto a
en la que las derivaciones conmutan con la multiplicación escalar.
es el homomorfismo de anillos al centro de A que define la multiplicación escalar en el álgebra, se tiene
Como en el caso anterior, la derivación debe obedecer a la regla de Leibniz sobre la multiplicación del álgebra, y debe ser lineal sobre la suma.
∂ ( a x + b y ) = a , ∂ x + b , ∂ y .
que satiface la regla del producto de Leibniz: Para cualquier
Este tipo de derivación se extiende al álgebra envolvente universal del álgebra de Lie en cuestión.
Por ejemplo, en un cuerpo diferencial de característica cero
Cualquier anillo es un anillo diferencial con respecto a la derivación trivial que mapea cualquier elemento del anillo a cero.
tiene una estructura única como cuerpo diferencial, determinada al establecer
los axiomas de cuerpo junto con los axiomas para las derivaciones aseguran que la derivación es diferencial respecto a
Por ejemplo, por conmutatividad de la multiplicación y la regla del producto de Leibniz se tiene que
no tiene solución a la ecuación diferencial
pero se expande a un campo diferencial mayor que incluye la función
que sí tiene solución a esta ecuación.
Tales campos existen, aunque no aparecen como objetos algebraicos o geométricos naturales.
Todos los campos diferenciales (de cardinalidad acotada) se incrustan en un gran campo diferencialmente cerrado.
Ejemplos naturales de derivaciones son las derivadas parciales, las derivadas de Lie, la derivada de Pincherle y el conmutador respecto a un elemento de un Álgebra.