Cuerpo (matemáticas)

El concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir y construir formalmente un espacio vectorial y las transformaciones en estos objetos, dadas por matrices, objetos en el álgebra lineal cuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario.

Un cuerpo es un anillo de división conmutativo, es decir, un anillo conmutativo y unitario en el que todo elemento distinto de cero es invertible respecto del producto.

Sintéticamente, un anillo P se denomina «cuerpo», si consta no solo del cero y en él es posible la división en todos los casos (salvo la división por cero), determinándose esta unívocamente, esto es, si para cualquier elemento m y n de P, de los cuales n es diferente de cero, existe en P un elemento q, y solo uno, que cumple la igualdad nq = m. El elemento q se denomina cociente de los elementos m y n y se denota q = m/n.

[3]​ El campo resulta (un) como un híbrido de dos campos abeliano, uno aditivo y otro multiplicativo, ligados por la ley distributiva, que basta una presentación por gozar de la propiedad conmutativa la multiplicación.

La fracción c/d está determinada sólo cuando d ≠ 0, es la única solución de la ecuación dt = c.[5]​ Se consideran los elementos identidades: Los números racionales es un cuerpo de números que incluye un subconjunto isomorfo a los números enteros, que por abuso de notación también se designa como

Todo número racional puede representarse por un conjunto de fracciones, pero el conjunto de los racionales no debe identificarse con el conjunto de las fracciones (ya que 1/2 y 2/4 son dos fracciones diferentes que representan el mismo número racional).

, este conjunto se denomina cuerpo de los números algebraicos, puede demostrarse que:

Sin embargo los reales no contienen a los algebraicos ya que por ejemplo

consisten en expresiones del tipo donde i es la unidad imaginaria, i.e., un número (no real) que satisface i2 = −1.

Adición y multiplicación de los números reales son definidos de tal manera para que todos los axiomas del cuerpo se cumplen para C. Por ejemplo, la ley distributiva cumple Los números racionales se pueden ampliar a los cuerpos de números p-ádicos

para cada número primo p, que forman un cuerpo normado.

Si un subconjunto E de un cuerpo (K,+,·) junto con las operaciones ·, + restringido a E es en sí mismo un cuerpo, entonces se llama un subcuerpo de K. Tal subcuerpo tiene los mismos 0 y 1 que K. Sea

Como todo cuerpo es un anillo, podríamos preguntarnos por la forma que tengan sus ideales.

Así pues solo hemos de estudiar los ideales del cuerpo.

[7]​ La construcción del cuerpo de funciones se puede generalizar a anillos conmutativos arbitarios para formar «anillos de fracciones», pero en este caso el conjunto

) debe ser un subconjunto cualquiera no vacío, que no contenga al cero ni a divisores de cero, y que sea cerrado bajo multiplicación.

El anillo resultante no es un cuerpo, pero todo elemento de

no es posible definir un orden compatible con las operaciones de grupo (si i > 0 se sigue que -1 > 0, si i < 0 se sigue que (-i)(-i) = -1 > 0).

Dado que los cuerpos son omnipresentes en las matemáticas y más allá, se han adaptado varios refinamientos del concepto a las necesidades de áreas matemáticas particulares.

De manera equivalente, el cuerpo no contiene infinitesimales (es decir, elementos más pequeños que todos los números racionales); o, aún equivalentemente, el cuerpo es isomorfo a un subcuerpo de R. Un cuerpo ordenado es completo de Dedekind si existen todas las cotas superiores, las cotas inferiores (consúltese el artículo cortes de Dedekind) y los límites que deberían existir, existen.

Más formalmente, se requiere que cada subconjunto acotado de F tenga un límite superior mínimo.

Todo cuerpo completo es necesariamente arquimediano,[12]​ ya que en todo cuerpo no arquimediano no hay ni el mayor infinitesimal ni el menor racional positivo, por lo que la sucesión 1/2, 1/3, 1/4, ..., cuyos elementos son mayores que todos los infinitesimales, no tiene límite.

Dado que cada subcuerpo propio de los reales también contiene tales espacios, R es el único cuerpo ordenado completo, salvo isomorfismos.

Los números hiperreales R* forman un cuerpo ordenado que no es arquimediano.

Los hiperreales forman la base fundamental del análisis no estándar.

Otro refinamiento de la noción de cuerpo es un cuerpo topológico, en el que el conjunto F es un espacio topológico, de modo que todas las operaciones del cuerpo (suma, multiplicación, las aplicaciones a ↦ −a y a ↦ a−1) son continuas con respecto a la topología del espacio.

Por ejemplo, cualquier número irracional x, como x= √2, es una brecha en los racionales Q en el sentido de que es un número real que puede aproximarse arbitrariamente mediante números racionales p/q, dado que la distancia de x y p/q dada por el valor absoluto | x − p/q | es tan pequeña como se desee.

El cuerpo Qp se usa en teoría de números y en análisis p-ádico.

Debido a su analogía aproximada con los números complejos, a veces se le llama el cuerpo de los números p-ádicos complejos y se denota por Cp.

Sin embargo, dado que la suma en Qp se realiza mediante acarreo, que no es el caso en Fp((t)), estos cuerpos no son isomorfos).