La simetrización y antisimetrización de un tensor son operaciones que a partir de un tensor producen un tensor del mismo tipo, pero con cierta simetría añadida en un conjunto escogido de índices.
El tensor resultante suele nombrarse del mismo modo que el tensor original, salvo por el uso de paréntesis para denotar al conjunto de índices simetrizados o de corchetes para el conjunto de índices antisimetrizados.
en todos sus índices es el tensor simétrico
, mientras que su antisimetrización sería el tensor antisimétrico
Se define la operación de simetrización sobre k índices del mismo tipo (todos covariantes o todos contravariantes) de un tensor cualquiera según la fórmula: Observamos cómo la suma se extiende a todas las permutaciones de los índices que aparecen rodeados por paréntesis.
Por ejemplo: Del mismo modo se define la antisimetrización en k índices del mismo tipo como: De nuevo la suma recorre todas las posibles permutaciones de los índices antisimetrizados, pero ahora el factor
Ejemplos: Los anteriores resultados siguen siendo válidos si intercambiamos los papeles de simetrización y antisimetrización.
en las definiciones anteriores, esto obliga a corregir otras fórmulas.
En este caso, se perdería la propiedad de que la simetrización de un tensor simétrico coincida con él mismo.