La contracción tensorial puede verse como una generalización del concepto de traza.
El emparejamiento es la aplicación lineal del producto tensorial de estos dos espacios sobre el cuerpo k: correspondiente a la forma bilineal donde f está en V∗ y v está en V.
Téngase en cuenta que el resultado es un escalar (un elemento de k).
[2][3] Aplicando el emparejamiento canónico al késimo factor V y al lésimo factor V∗, y utilizando la identidad en todos los demás factores, se define la operación de contracción (k, l), que es una aplicación lineal que produce un tensor de tipo (m − 1, n − 1).
[2] Por analogía con el caso (1, 1), la operación de contracción general a veces se denomina traza.
Sin embargo, en presencia de un espacio prehilbertiano g (también conocido como métrico), tales contracciones son posibles.
Se utiliza la métrica para subir o bajar uno de los índices, según sea necesario, y luego se utiliza la operación habitual de contracción.
Dado que la contracción es una operación puramente algebraica, se puede aplicar puntualmente a un campo tensorial, como por ejemplo, si T es un campo tensorial (1,1) en el espacio euclídeo, entonces, en cualquier coordenada, su contracción (un campo escalar) U en un punto x viene dada por Dado que el papel de x aquí no es complicado, a menudo se suprime y la notación para campos tensoriales se vuelve idéntica a la de los tensores puramente algebraicos.
En el caso de las coordenadas cartesianas en el espacio euclídeo, se puede escribir Entonces, cambiar el índice β a α hace que el par de índices quede vinculado entre sí, de modo que la derivada se contrae consigo misma para obtener la siguiente suma: que es la divergencia div V.
Si T es un campo tensorial con al menos un índice contravariante, tomando la derivada covariante y contrayendo el índice contravariante elegido con el nuevo índice covariante correspondiente al diferencial se obtiene un nuevo tensor de rango uno inferior al de T.[5] Se puede generalizar la operación de contracción central (vector con vector dual) de una manera ligeramente diferente, considerando un par de tensores T y U.
En notación tensorial indexada, para contraer dos tensores entre sí, se colocan uno al lado del otro (yuxtapuestos) como factores del mismo término.
Esto induce el producto tensorial, produciendo un tensor compuesto.
Por ejemplo, las matrices se pueden representar como tensores de tipo (1,1), siendo el primer índice contravariante y el segundo covariante.
Sea R un anillo conmutativo y sea M un módulo finito y libre sobre R. Entonces, la contracción opera en el álgebra tensorial completa (mixta) de M exactamente de la misma manera que en el caso de espacios vectoriales sobre un cuerpo (el hecho clave es que el emparejamiento canónico sigue siendo perfecto en este caso).