de una variedad riemanniana, que viene inducido por su métrica[1].
Una métrica g en una variedad Riemanniana M es un campo tensorial
que es simétrico, no degenerado y definido positivo.
Al fijar uno de los dos parámetros como un vector
, se obtiene un isomorfismo de espacios vectoriales: definido por: es decir, Globalmente, es un difeomorfismo [2].
se denominan isomorfismos musicales porque suben y bajan los índices de los vectores.
Por ejemplo, un vector de TM se escribe como
, así que el índice i sube y baja en
del mismo modo que los símbolos sostenido (
Los isomorfismos musicales se pueden usar para definir el gradiente de una función diferenciable sobre una variedad riemanniana M como: