Identidades del cálculo vectorial
Las siguientes son identidades importantes que implican derivadas e integrales en el cálculo vectorial.
en variables tridimensionales Coordenadas cartesianas, el gradiente es el campo vectorial:
donde i, j, k son los vectores unitarios estándar para los ejes x, y, z. Más generalmente, para una función de n variables
son vectores unitarios ortogonales en direcciones arbitrarias.
Como su nombre indica, el gradiente es proporcional y apunta en la dirección del cambio más rápido (positivo) de la función.
escrito como un vector de 1 × n filas, también llamado campo tensorial de orden 1, el gradiente o derivada covariante es la matriz jacobiana de n × n:
En coordenadas cartesianas, la divergencia de un campo vectorial continuamente diferenciable
{\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }
Como su nombre indica, la divergencia es una medida de cuánto divergen los vectores.
, una contracción a un campo tensorial de orden k - 1.
En concreto, la divergencia de un vector es un escalar.
{\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }
Como su nombre indica, el rizo es una medida de cuánto tienden los vectores cercanos en una dirección circular.
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\varepsilon ^{ijk}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{j}}}}
El Laplaciano es una medida de cuánto cambia una función sobre una pequeña esfera centrada en el punto.
y es un campo tensorial del mismo orden.
donde la notación ∇B significa que el gradiente con subíndice opera sólo sobre el factor B.
donde los puntos definen el alcance de la derivada vectorial.
El vector punteado, en este caso B, se diferencia, mientras que el (no punteado) A se mantiene constante.
Tenemos las siguientes generalizaciones de la regla del producto en cálculo monovariable.
denota la matriz jacobiana del campo vectorial
Alternativamente, utilizando la notación de subíndices de Feynman, Como un caso especial, cuando A = B, La generalización de la fórmula del producto punto a las variedades riemannianas es una propiedad definitoria de una conexión riemanniana, que diferencia un campo vectorial para dar una 1-forma vectorial.
La divergencia de un campo vectorial A es un escalar, y no se puede tomar la divergencia de una cantidad escalar.
El rotacional del gradiente de cualquier campo escalar continuamente dos veces diferenciable.
) es siempre el vector cero Se puede demostrar fácilmente expresando
La divergencia de un campo vectorial A es un escalar, y no se puede tomar el rotacional de una cantidad escalar.
El círculo azul del centro significa que el rizo del rizo existe, mientras que los otros dos círculos rojos (discontinuos) significan que DD y GG no existen.
A continuación, el símbolo ∂ significa "contorno de".
En los teoremas integrales superficie-volumen, V denota el volumen tridimensional correspondiente al contorno bidimensional S = ∂V (una superficie cerrada):
(Segunda identidad de Green) En los siguientes teoremas de integrales curva-superficie, S denota una superficie abierta 2D con un límite 1D correspondiente C = ∂S (una curva cerrada): La integración alrededor de una curva cerrada en el sentido horario es el negativo de la misma integral de línea en el sentido antihorario (análogo a intercambiar los límites en una integral definida)
