En matemáticas y física, el operador Laplaciano vectorial
, nombrado así en honor a Pierre-Simon Laplace, es un operador diferencial definido sobre un campo vectorial.
Mientras que el Laplaciano escalar se aplica sobre campos escalares y devuelve una cantidad escalar, el Laplaciano vectorial se aplica sobre campos vectoriales y da como resultado otra cantidad vectorial.
En coordenadas cartesianas, el campo vectorial que devuelve dicha operación es igual al vector de operadores Laplacianos escalares aplicados sobre cada componente del campo vectorial al que hemos aplicado el Laplaciano vectorial.
Para ver expresiones del Laplaciano vectorial en otros sistemas de coordenadas, véase Nabla en coordenadas cilíndricas y esféricas.
(donde "tensor" incluye los casos escalar y vectorial) está definido como la divergencia del gradiente del tensor Para el caso especial en el que
es un escalar (un tensor de rango cero), el Laplaciano toma la forma usual conocida Si
(tensor de rango 2), puede ser visto como el producto de matrices Estas identidades están escritas explícitamente en coordenadas cartesianas y, por tanto, no son resultados generales.
Otro ejemplo muy usado en Física es la ecuación de ondas para el campo eléctrico, que puede ser derivada a partir de las ecuaciones del Maxwell.
En particular, en ausencia de cargas y corrientes, se tiene donde