La incompresibilidad es una aproximación y se dice que el flujo es incompresible si la densidad permanece aproximadamente constante a lo largo de todo el flujo.
Cuando se analizan flujos de gas a velocidades altas, la velocidad del flujo a menudo se expresa en términos del número adimensional de Mach, que se define como donde v es la velocidad del flujo en ese medio y c es la velocidad del sonido en ese medio, cuyo valor es de 346 m/s en el aire a temperatura ambiente al nivel del mar.
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión.
De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo.
Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí.
Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible).
Considerando un flujo estacionario sin esfuerzo cortante, trabajo en el eje o transferencia de calor.
Si el fluido es compresible y un gas ideal, las presiones estática y de estancamiento están relacionadas por medio de (Flujo compresible): (2)
En consecuencia, la ecuación Bernoulli es una aproximación a la relación de presión del flujo isoenergetico e isoentropico para números de Mach pequeños.
si se deseara limitar el error al emplear la ecuación Bernoulli para el cálculo de la presión a no más del 2 por ciento, entonces:
Para estimaciones gruesas, un error del 5 por ciento podría ser aceptable, en cuyo caso el número de Mach debe ser menor que 0.45.
El criterio más ampliamente utilizado para el límite entre el flujo compresible y el incompresible coloca el umbral del número de Mach en 0.3: En general se puede suponer que un flujo con M < 0.3 sea incompresible.
Para flujo incompresible (ρ = constante), también se supone flujo aproximadamente isotérmico sabiendo que los cambios locales en temperatura son pequeños o inexistentes; esto elimina la necesidad de una ecuación diferencial de conservación de energía.
Con dichas suposiciones se puede demostrar que el tensor de esfuerzo viscoso se reduce a: Tensor de esfuerzo viscoso para un fluido newtoniano incompresible con propiedades constantes: (7)
La ecuación (7) muestra que el esfuerzo es linealmente proporcional a la deformación.
En coordenadas cartesianas, se mencionan las nueve componentes del tensor de esfuerzo viscoso, seis de las cuales son independientes debido a su simetría: (8)
{\displaystyle T_{ij}={\begin{pmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\mu {\frac {\partial u}{\partial x}}&\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)&\mu \left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\\\mu \left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)&2\mu {\frac {\partial v}{\partial y}}&\mu \left({\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}\right)\\\mu \left({\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)&\mu \left({\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)&2\mu {\frac {\partial w}{\partial z}}\end{pmatrix}}}
Dado que la presión consiste solo de un esfuerzo normal, únicamente aporta un término a la ecuación (10).
Par ejemplo, la primera parte del último término en la ecuación (10) se puede reescribir como:
El término entre paréntesis es cero debido a la ecuación de continuidad para flujo incompresible.
Aunque los componentes de la ecuación Navier-stokes se dedujeron en coordenadas cartesianas, la forma vectorial de la ecuación es válida en cualquier sistema coordenado ortogonal.
Esta famosa ecuación recibe su nombre en honor al ingeniero francés Louis Marie Henri Navier (1785-1836) y al matemático inglés Sir George Gabriel Stokes (1819-1903), quienes desarrollaron los términos viscosos, aunque de manera independiente.
Puede parecer suficientemente inocua, pero es una ecuación diferencial parcial de segundo orden, no lineal e inestable.
Si fuera posible resolver esta ecuación para flujos de cualquier geometría, sería más sencillo.
Por desgracia, las soluciones analíticas no se obtienen excepto para campos de flujo muy simples.
Antes de intentar resolver ese conjunto de ecuaciones diferenciales, es necesario elegir un sistema coordenado y expandir las ecuaciones en dicho sistema coordenado.
De esta manera, conforme se mueve en la dirección θ, el vector unitario er, también cambia de dirección; por lo tanto, las componentes r y θ se acoplan.
A continuación, citaremos las seis componentes independientes del tensor de esfuerzo viscoso en coordenadas cilíndricas: