Coordenadas oblicuas

El trabajo con coordenadas oblicuas tiende a ser más complejo que con coordenadas ortogonales, ya que su tensor métrico tendrá componentes distintas de cero situadas fuera de la diagonal, lo que impide realizar numerosas simplificaciones en las fórmulas del álgebra tensorial y del cálculo tensorial.

Por ejemplo, resolver las ecuaciones de Laplace en un paralelogramo será más fácil si se realiza en un sistema de coordenadas oblicuo adecuado.

, permaneciendo ortogonal a uno de los dos ejes restantes.

Para este ejemplo, se ha desviado el eje x de un sistema de coordenadas cartesianas hacia el eje z según un ángulo

Calcular sus productos escalares permite obtener el tensor métrico: donde y cantidades que serán útiles más adelante.

La base contravariante viene dada por[2]​ La base contravariante no es muy conveniente de usar; sin embargo, aparece en las definiciones, por lo que debe considerarse, aunque se prefiera escribir cantidades con respecto a la base covariante.

Dado que todos los vectores de la base son constantes, la suma y resta de vectores será simplemente una suma y resta ordinarias de componentes.

Ahora, se considera que donde las sumas indican la suma de todos los valores del índice (en este caso, i = 1, 2, 3).

son las coordenadas x, y, z indexadas.

Reconociendo esto como un vector escrito en términos de una base contravariante, se puede reescribir: La divergencia de un vector

El operador laplaciano de f es y, dado que la base covariante es normal y constante, el operador laplaciano es lo mismo que el laplaciano por componentes de un vector escrito en términos de la base covariante.

Si bien tanto el producto escalar como el gradiente son algo complicados porque tienen términos adicionales (en comparación con un sistema cartesiano), el operador advección, que combina un producto escalar con un gradiente, resulta muy simple: que se puede aplicar tanto a funciones escalares como a funciones vectoriales mediante sus componentes cuando se expresa en una base covariante.