Introducción a las matemáticas de la relatividad general
Para una introducción basada en el ejemplo de partículas que siguen órbitas circulares alrededor de una masa muy grande, se dan tratamientos relativistas y no relativistas en los artículos motivaciones newtonianas de la relatividad general y motivaciones teóricas para la relatividad general, respectivamente.
Muchas operaciones algebraicas con números reales, como la adición, la resta, la multiplicación y la negación, tienen análogos cuando se trabaja con vectores.
Un tensor extiende el concepto de vector a direcciones adicionales.
Un escalar, es decir, un número simple sin dirección, se mostraría en un gráfico como un punto, un objeto de dimensión cero.
Un vector es un tensor de primer orden, ya que tiene una dirección.
Por ejemplo, una velocidad de "5 metros por segundo hacia arriba" podría representarse mediante el vector (0, 5) (en 2 dimensiones con el eje positivo y como "arriba").
Otra cantidad representada por un vector es la fuerza, ya que posee magnitud, dirección y sentido.
Los vectores también describen muchas otras cantidades físicas, como desplazamientos, aceleraciones, cantidad de movimiento y momento angular.
Los tensores también tienen amplias aplicaciones en física: En la relatividad general, se requieren vectores de cuatro dimensiones, denominados cuadrivectores.
Al igual que los vectores, los tensores en relatividad requieren cuatro dimensiones.
Sin una cuadrícula de referencia clara, resulta más preciso describir las cuatro dimensiones como hacia/lejos, izquierda/derecha, arriba/abajo y pasado/futuro.
Sin embargo, para un observador de la Inglaterra medieval que mire hacia el norte, el acontecimiento está detrás, a la izquierda, ni arriba ni abajo, y en el futuro.
Cuando se utilizan transformaciones de coordenadas como se describe anteriormente, el nuevo sistema de coordenadas a menudo parecerá tener ejes oblicuos en comparación con el sistema anterior.
En la relatividad general, no se puede describir la energía y el momento del campo gravitatorio mediante un tensor de energía-momento.
Estrictamente hablando, estos objetos no son tensores en absoluto.
Si bien los mapas suelen representar el norte, el sur, el este y el oeste como una simple cuadrícula, en realidad ese no es el caso.
En la relatividad general, la energía y la masa tienen efectos de curvatura en las cuatro dimensiones del universo (= espacio-tiempo).
Las matemáticas aquí son conceptualmente más complejas que en la Tierra, ya que dan como resultado cuatro dimensiones de coordenadas curvas en lugar de tres como se usa para describir una superficie curva en 2D.
Los intervalos espacio-temporales se pueden clasificar en tres tipos distintos, en función de si la separación temporal (c2Δt2) o espacial (Δr2) de los dos eventos es mayor: temporales, lumínicos o espaciales.
Al igual que con la derivada direccional, la derivada covariante es una regla que toma como entradas: (1) un vector, u, (en el que se toma la derivada) definido en un punto P, y (2) un campo vectorial, v , definido en un entorno de P. El resultado es un vector, también con origen en el punto P. La principal diferencia con la derivada direccional habitual es que la derivada covariante debe, en cierto sentido preciso, ser independiente de la manera en que se exprese en un sistema de coordenadas.
En la relatividad general, una geodésica generaliza la noción de "línea recta" al espacio-tiempo curvo.
Una curva es geodésica si el vector tangente de la curva en cualquier punto es igual al transporte paralelo del vector tangente del punto base.
