En la relatividad general, una geodésica generaliza la noción de "línea recta" al espacio-tiempo curvo.
La ecuación geodésica completa es donde s es un parámetro escalar de movimiento (por ejemplo, tiempo propio) y
(aquí se utiliza la barra triple para indicar una definición).
La ecuación del movimiento según una geodésica queda entonces como: Esta formulación de la ecuación del movimiento según líneas geodésicas puede resultar útil para cálculos por computadora y para comparar la relatividad general con la gravedad newtoniana.
Obsérvese que ambos lados de esta última ecuación desaparecen cuando el índice μ se establece en cero.
Si la velocidad de la partícula es lo suficientemente pequeña, entonces la ecuación geodésica se reduce a: Aquí, el índice n toma los valores [1,2,3].
Esta ecuación simplemente significa que todas las partículas de referencia en un lugar y momento determinados tendrán la misma aceleración, que es una característica bien conocida de la gravedad newtoniana.
Por ejemplo, todo lo que flota en la Estación Espacial Internacional sufrirá aproximadamente la misma aceleración debida a la gravedad.
[2] El primer paso en dicha deducción es suponer que una partícula en caída libre no posee aceleración en las proximidades de un suceso puntual con respecto a un sistema de coordenadas en caída libre (
En este caso: Diferenciando una vez más respecto al tiempo, se tiene que: Ya se ha dicho que el lado izquierdo de esta última ecuación debe desaparecer debido al Principio de Equivalencia.
Por lo tanto: Multiplicando ambos lados de esta última ecuación por la siguiente cantidad: En consecuencia, se tiene que: Weinberg define la conexión afín de la siguiente manera:[3] lo que lleva a esta fórmula: Obsérvese que, si se hubiera usado el tiempo propio s como parámetro de movimiento, en lugar de usar la coordenada del tiempo localmente inercial "T", entonces la deducción de la ecuación geodésica del movimiento estaría completa.
La ecuación del movimiento geodésico también se puede deducir utilizando el concepto de transporte paralelo.
[4] Se puede (y esta es la técnica más común) deducir la ecuación geodésica mediante el principio de acción.
Hay un signo negativo dentro de la raíz cuadrada porque la curva debe ser temporal.
Para obtener la ecuación geodésica se debe hacer variar esta acción.
, se obtiene: Entonces, por el principio de Hamilton se encuentra que las ecuaciones de Euler-Lagrange son Multiplicando por el inverso del tensor métrico
se obteine que Así finalmente, se llega a la ecuación geodésica: con los símbolos de Christoffel definidos en términos del tensor métrico como (Nota: existen deducciones similares, con modificaciones menores, para producir resultados análogos para geodésicas entre pares de puntos separados en forma de luz o en forma de espacio).
Se necesitan otras suposiciones para obtener los teoremas en cuestión”.
[9] Al deducir la ecuación geodésica a partir del principio de equivalencia, se supuso que las partículas en un sistema de coordenadas inercial local no se aceleran.
Las partículas sin masa como los fotones siguen geodésicas nulas (reemplácese −1 por cero en el lado derecho de la última ecuación).
Es importante que las dos últimas ecuaciones sean consistentes entre sí, cuando esta última se diferencia con respecto al tiempo propio, y la siguiente fórmula para los símbolos de Christoffel asegura esa consistencia: Esta última ecuación no involucra los campos electromagnéticos y es aplicable incluso en el límite cuando los campos electromagnéticos desaparecen.
La letra g con superíndices se refiere al inverso del tensor métrico.
En el espacio de Minkowski solo hay una geodésica que conecta cualquier par de eventos, y para una geodésica temporal, esta es la curva con el tiempo propio más largo entre los dos eventos.
En tales casos, los tiempos propios en varias geodésicas no serán en general los mismos.
[11] Para una geodésica espacial a través de dos eventos, siempre hay curvas cercanas que pasan por los dos eventos que tienen una longitud propia más larga o más corta que la geodésica, incluso en el espacio de Minkowski, donde la geodésica será una línea recta.
Cualquier curva que difiera de la geodésica puramente espacial (es decir, no cambia la coordenada temporal) en cualquier marco de referencia inercial tendrá una longitud propia más larga que la geodésica, pero será una curva que difiera de la geodésica puramente temporal (es decir, no cambia las coordenadas espaciales) en dicho marco de referencia tendrá una longitud propia más corta.
La deducción se basa en las conferencias impartidas por Frederic P. Schuller en la Escuela Internacional de Invierno We-Heraeus sobre Gravity & Light.
Para deducir la ecuación geodésica, se tiene que elegir un grafo
y la regla de Leibniz: Teniendo en cuenta cómo actúa la conexión sobre las funciones (
Cambiaando el nombre de los índices ficticios: Finalmente, se llega a la ecuación geodésica: