Constante zeta

En matemática, una constante zeta es el resultado de la función zeta de Riemann cuando esta se aplica sobre un número entero En cero, se tiene: La función zeta tiene un único polo en 1: Siendo el valor de su residuo en este punto la unidad:Para los números pares, el valor de la función zeta está relacionado con los números de Bernoulli, esta relación fue dada por Euler:Los primeros valores son: La relación entre las constantes zeta en los enteros positivos pares y los números de Bernoulli se puede escribir como: DondeLa serie de constantes zeta para números pares positivos puede obtenerse del desarrollo en serie de Laurent de la función cotangente desarrollada en torno a 0.A los primeros números impares positivos les corresponden las siguientes constantes zeta: Se sabe que ζ(3) es irracional (teorema de Apéry) y que la serie ζ(2n+1) (n ∈ N) contiene infinitos valores irracionales.Existen también resultados sobre la irracionalidad de ciertos conjuntos de constantes zeta asociadas a impares positivos.La mayoría de las identidades mostradas más abajo fueron dadas por Simon Plouffe.Es de destacar su rápida convergencia de al menos tres dígitos por iteración, siendo usadas por ello para cálculos de gran precisión.Plouffe da una tabla de valores: Estas constantes enteras pueden ser expresadas como sumas sobre números de Bernoulli (Vepstas, 2006).Los "ceros triviales" de la función zeta se dan todos sobre los enteros negativos pares: Los primeras pocas constantes zeta asociadas a los menores enteros negativos impares son: Sin embargo, como ocurre con los números de Bernoulli, al aumentar n, aumenta el módulo de estas constantes zeta.Las derivadas de la función zeta de Riemann para los enteros negativos pares vienen dadas por: Los primeros valores son: También se tiene y donde