Problema de Basilea

Puesto que el problema había resistido los ataques de los matemáticos más importantes de la época, la solución llevó a Euler rápidamente a la fama cuando tenía veintiocho años.

Euler generalizó el problema considerablemente, y sus ideas fueron tomadas años después por Bernhard Riemann en su artículo de 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Sobre la cantidad de números primos menores que una magnitud dada), en donde definió su función zeta y demostró sus propiedades básicas.

En esencia, lo que hizo fue extender resultados aplicables a polinomios finitos, considerándolos también válidos para series infinitas.

Claro está que el razonamiento de Euler requiere justificación, pero aun sin ella, simplemente obteniendo el valor correcto, pudo verificarlo numéricamente frente a sumas parciales de la serie.

La concordancia observada le dio suficiente confianza como para anunciar su resultado a la comunidad matemática.

La función está definida para todo número complejo s cuya parte real sea mayor que la unidad (Re(s) > 1) por la siguiente fórmula: Haciendo s = 2, se comprueba que ζ(2) es igual a la suma de los inversos de los cuadrados de los enteros positivos.

La suma de esta serie converge, pudiéndose demostrar con la siguiente desigualdad: Esto marca el límite superior ζ(2) < 2, y como la suma infinita tiene sólo términos positivos, debe converger.

Las dos expresiones se obtienen de identidades que incluyen las funciones cotangente y cosecante.

Dado que la función cot2(x) es inyectiva en el intervalo (0, π/2), los números cot2(x) = cot2(r π/(2m + 1)) son distintos para cada valor de r = 1, 2,..., m. Pero por la ecuación anterior, cada uno de estos m números distintos es una raíz del polinomio de grado m Esto significa que los números x = cot2(r π/(2m + 1)), para r = 1, 2,..., m son precisamente las raíces del polinomio p(t).