En matemáticas, la transformada de Hankel es una transformada integral, desarrollada por primera vez por el matemático Hermann Hankel, que expresa una función
También se conoce como transformada de Fourier-Bessel.
Las funciones de Bessel del núcleo de la integral son todas del mismo orden.
, pero difieren en el factor de escala
, constituye la transformada de Hankel.
La transformada de Hankel está estrechamente relacionada con la serie de Fourier-Bessel, de la misma manera que la transformada de Fourier para un intervalo infinito está relacionada con la serie de Fourier en un intervalo finito.
Se define como por lo que puede verificarse una relación de ortogonalidad entre las funciones de Bessel.
es válido en todos los puntos donde
, con variación limitada en cada subintervalo finito de
y Sin embargo, en analogía con la transformada de Fourier, se puede ampliar el dominio mediante el razonamiento de densidad, incluyendo algunas funciones para las cuales la integral anterior no es finita, como
es [1] Las dos definiciones están relacionadas: Esto significa que, al igual que en la definición anterior, la transformada de Hankel definida de esta manera es su propia inversa: El dominio ahora tiene la condición pero se puede ampliar.
Según de Branges, se puede tomar la integral como el límite con el límite superior tendiendo al infinito (una integral impropia en lugar de una integral de Lebesgue ), y de esta manera la transformada de Hankel y su inversa se definen para cada función en L 2 ( 0, ∞).
poseen transformaciones de Hankel
bien definidas, entonces el teorema de Plancherel establece que El teorema de Parseval, que establece es un caso especial del teorema de Plancherel.
Estos teoremas se pueden demostrar utilizando la propiedad de ortogonalidad.
Si se considera una función bidimensional
La transformada de Fourier ahora se escribe en estas coordenadas como dónde
es circularmente simétrico y no depende de la variable angular
Por lo tanto, puede quedar fuera de la integración en
De manera similar para la transformada inversa, por lo tanto
se puede expandir en una serie de multipolos , y si
es suficientemente suave cerca del origen y es cero fuera de una bola de radio
, luego se puede ampliar a la serie Chebyshev : Sustituyéndolo en la última ecuación de la sección anterior se obtiene donde la última igualdad se deriva del §6.567.1 de [4] .
Se trata de un caso mucho más general que el abordado en el apartado anterior.
El aspecto numérico importante es que los coeficientes
se puede obtener utilizando técnicas de la transformada discreta de Fourier .
como la transformada de Hankel de orden cero, entonces el caso especial del teorema de corte de proyección para funciones circularmente simétricas establece que En otras palabras, aplicar la transformada de Abel a una función en una dimensión y luego realizar la transformada de Fourier equivale a aplicar la transformada de Hankel a la función.
Este concepto se puede extender a todas las dimensiones.
es la integral elíptica completa de primer tipo .
aplicado a la función esféricamente simétrica