Vibraciones de una membrana circular
El análisis del problema de la membrana vibrante permite explicar el funcionamiento de instrumentos de percusión tales como los tambores y timbales.
Sin embargo, existe también una aplicación biológica en explicar el funcionamiento del tímpano.
Desde un punto de vista educativo los modos de un objeto bidimensional son una forma conveniente de visualmente demostrar el significado de modos, nodos, antinodo y aun los números cuánticos.
Estos conceptos son importantes para la comprensión de la estructura del átomo.
centrado en el origen, el cual representa la forma quieta de la membrana del tambor.
el cual puede tomar tanto valores positivos como negativos.
centrado en el origen, que representa el marco rígido al cual se encuentra fijada la membrana.
, será conveniente utilizar coordenadas cilíndricas,
es una constante positiva, que es la velocidad a la cual las ondas de vibración transversal se propagan en la membrana.
En función de los parámetros físicos, la velocidad de onda c, queda expresada como Si la membrana posee una tensión uniforme, la fuerza de la tensión uniforme en un radio dado,
es la resultante de la membrana en la dirección azimutal.
y la ecuación de onda se simplifica quedando Se buscan soluciones utilizando separación de variables,
Substituyendo esto en la ecuación anterior y dividiendo ambos lados por
y el lado derecho no depende de
por lo tanto se infiere que ambos lados deben ser iguales a una constante
Se obtienen de este modo ecuaciones separadas para
tiene soluciones que crecen o decaen exponencialmente para
Desde un punto de vista físico se espera que la solución al problema de la membrana que vibra sea oscilatorio en el tiempo, por lo que queda el tercer caso,
es una combinación lineal de funciones seno y coseno, Analizando la ecuación para
lo que daría lugar a una solución del problema de la membrana que carece de sentido físico, por lo tanto la constante
posee una cantidad infinita de raíces positivas, Se obtiene que
del problema de la membrana vibrante pueden ser expresadas en variables separadas como donde
Se supone existe una solución mediante separación de variables, Substituyendo esto en la ecuación de onda y separando las variables, se obtiene donde
Donde al igual que antes, de la ecuación para
y De la ecuación resulta, multiplicando ambos lados por
es una variable angular, se deduce que donde
Con un argumento similar al utilizado con anterioridad, se obtiene que donde
Se ha demostrado que todas las soluciones en variables separadas del problema de la membrana circular vibrante son de la forma para
A continuación se muestran algunos modos de vibración junto con sus números cuánticos.
Las funciones de onda análogas del átomo de hidrógeno también se indican como la frecuencia angular asociada
