En matemática, el wronskiano es un determinante introducido en 1812[1] por el polaco Wrońsky (1776-1853) y nombrado en 1882[2] por el matemático escocés Thomas Muir (1844 – 1934).Se utiliza en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, donde a veces puede ser utilizado para mostrar que un conjunto de soluciones es linealmente independiente.El wronskiano es el determinante de la matriz construida al colocar las funciones en el primer renglón (o fila), la primera derivada de cada función en el segundo renglón, y así hasta la derivada n-1, formando así una matriz cuadrada, algunas veces llamada matriz fundamental.En una ecuación diferencial lineal de segundo orden, el wronskiano puede ser calculado por computadora más fácilmente por la identidad de Abel.podrían ser linealmente independientes, como se ve en el siguiente ejemplo.funciones se anule en un punto de un intervalo, o incluso en todos los puntos del intervalo, no implica que las funciones sean linealmente dependientes en el intervalo.Sin embargo, sí lo implica si las funciones son solución de un sistema lineal homogéneo de dimensiónsoluciones del sistema lineal homogéneo de dimensiónEl resultado es consecuencia del Teorema de Picard-Lindelöf Definimos la función auxiliarson soluciones del sistema lineal homogéneo, cualquier combinación lineal de ellas es también solución.Por el Teorema de Existencia y Unicidad,, son nulos, concluimos que las funcionessoluciones del sistema lineal homogéneo de dimenxiónEntonces: Como toda ecuación diferencial lineal de ordenPor ejemplo, si queremos verificar si dos soluciones de una ecuación diferencial lineal de segundo orden son independientes, se puede usar el wronskiano Sea el sistema:Se define el Wronskiano del sistema como:Esta ecuación es equivalente a un sistema dees una solución del sistema, se cumple que:vectores solución del sistema equivalente.Para la formulación del problema como ecuación el wronskiano queda, por definición:Para la formulación como sistema, el wronskiano, agrupando los vectores solución en una matriz de tamañoDe esta forma observamos que es equivalente la formulación del Wronskiano de soluciones de una ecuación y la formulación del Wronskiano de soluciones del sistema asociado a dicha ecuación.Sea la edo de segundo orden:que se puede reescribir de forma matricial como:De esta forma el Wronskiano para la ecuación nos queda como:que coincide con el Wronskiano del sistema asociado, resultante de colocar los vectores solución juntos:Hay un sentido en el que el wronskiano de una ecuación diferencial lineal de orden n-ésimo es el producto exterior n-ésimo.Para implementar esa idea se debe trabajar con algunas formulaciones en las que las ecuaciones diferenciales son suficientemente parecidas a vectores en el espacio: por ejemplo en el lenguaje del fibrado vectorial llevando una conexión.El teorema es significativamente fácil de probar por medio de su segunda declaración mencionada anteriormente, siendo: Si las funciones son linealmente dependientes sobre el intervalo, entonces lo son también las columnas de la matriz wronskiana asociada (la diferenciación es una operación lineal); consecuentemente, el determinante wronskiano es cero en todos los puntos del intervalo.Ordinary differential equations and dynamical systems (en inglés).
