Problema de Kepler
En mecánica clásica, el problema de Kepler es un caso especial del problema de los dos cuerpos, en el que los dos cuerpos interactúan por medio de una fuerza central que varía en intensidad según una ley cuadrática inversamente proporcional en función de la distancia entre ambos.
El "problema" a resolver es encontrar la posición o la velocidad de los dos cuerpos a lo largo del tiempo dadas sus masas, posiciones iniciales y velocidades.
Usando la mecánica clásica, la solución puede expresarse como una órbita de Kepler utilizando seis elementos orbitales.
El problema de Kepler en la relatividad general proporciona predicciones más precisas, especialmente en campos gravitacionales fuertes.
Es importante en mecánica celeste, ya que la gravedad newtoniana obedece a una cuadrática inversa.
Los ejemplos incluyen un satélite que se mueve alrededor de un planeta, un planeta alrededor de su sol o dos estrellas binarias entre sí.
Algunos ejemplos son el átomo de hidrógeno,[2] el positronio y el muonio, que han jugado roles importantes como modelos de sistemas para probar teorías físicas y medir constantes de la naturaleza.
Son los "únicos" dos problemas que presentan órbitas cerradas para cada conjunto posible de condiciones iniciales, es decir, regresan a su punto de partida con la misma velocidad (según el teorema de Bertrand).
El problema de Kepler a menudo se ha usado para desarrollar nuevos métodos en mecánica clásica, como la mecánica lagrangiana, la mecánica hamiltoniana, la ecuación de Hamilton-Jacobi y las coordenadas de acción-ángulo.
La solución del problema de Kepler permitió a los científicos demostrar que el movimiento planetario podría explicarse por completo por la mecánica clásica y la ley newtoniana de la gravedad; la explicación científica del movimiento planetario jugó un papel importante en el inicio de la Ilustración.
[5] Sea una fuerza central F que varía en intensidad con el inverso del cuadrado de la distancia r entre dos cuerpos: donde k es una constante y
representa el vector unitario en la línea que los separa.
El potencial escalar correspondiente (la energía potencial del cuerpo no situado centralmente) es: La ecuación de movimiento para el radio
dando la nueva ecuación de movimiento que es independiente del tiempo
Esta ecuación se vuelve cuasilineal al hacer el cambio de variable
Después de la sustitución y la reorganización: Para una ley de fuerza inversa-cuadrática tal como la gravedad o la interacción electrostática, se puede escribir el potencial como
se puede deducir de la ecuación general cuya solución es la constante
Esta es la fórmula general de una sección cónica que tiene un foco en el origen;
corresponde a órbitas perfectamente circulares (la fuerza central es exactamente igual a la fuerza centrípeta, que determina la velocidad angular requerida para un radio circular dado).
Para una fuerza de repulsión (k > 0) solo se aplica e > 1.
en una curva en coordenadas podales viene dado por dos números
es la distancia del origen a la línea tangente en
Integrando, se obtiene la primera cantidad conservada
que corresponde a la energía del objeto en órbita.
Del mismo modo, al calcular el producto escalar con
correspondiente al momento angular del objeto.
sustituyendo las cantidades conservadas anteriores, se obtiene inmediatamente:
Téngase en cuenta que solo se necesitan 2 (de 4 posibles) cantidades conservadas para obtener la forma de la órbita.
Esto es posible porque las coordenadas podales no describen una curva con todo detalle.
En general, son indiferentes a la parametrización y también a una rotación de la curva sobre el origen, lo que es una ventaja si solo se ocupa de la forma general de la curva y no es necesario reparar en otros detalles.
