El método de acciones-ángulos es útil para obtener las frecuencias de movimientos oscilatorios o rotacionales sin necesidad de resolver las ecuaciones del movimiento.
Las coordenadas de acción-ángulo se utilizan principalmente cuando las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables (por tanto, el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo y por consiguiente la energía se conserva).
Las variables de acción-ángulo definen un toro invariante, llamado así porque mantener la acción constante define la superficie de un toro, con las variables de ángulo parametrizando las coordenadas del toro.
Las coordenadas de acción-ángulo son también útiles en teoría de perturbaciones en mecánica hamiltoniana, especialmente para determinar invariantes adiabáticos.
Uno de los primeros resultados de teoría del caos para las perturbaciones no lineales de sistemas dinámicos con pocos grados de libertad es el teorema KAM, que afirma que los toros invariantes son estables bajo perturbaciones pequeñas.
(no la función principal de Hamilton
expresado en términos de las nuevas coordenadas canónicas, que denotamos
No necesitaremos resolver la función generatriz
, simplemente la utilizamos para relacionar los dos conjuntos de coordenadas canónicas.
, definimos sus momentos generalizados, que representan la acción clásica para cada coordenada generalizada donde el camino de integración viene dado por la función de energía constante
Dado que el movimiento real no interviene en la integración, estos momentos generalizados
no depende de las coordenadas generalizadas conjugadas
vienen dados por la ecuación habitual para un transformación canónica de tipo 2, Así, el nuevo hamiltoniano
depende únicamente de los nuevos momentos generalizados
La dinámica de las variables de ángulo viene dada por las ecuaciones de Hamilton, El lado derecho es una constante del movimiento (ya que todos los
En particular, si la coordenada generalizada original está sujeta a una oscilación o rotación de periodo
son las frecuencias de oscilación/rotación para las coordenadas generalizadas originales
Podemos ver esto integrando el cambio neto en la variable de ángulo
a lo largo de exactamente una rotación completa (una oscilación o una rotación) de sus coordenadas generalizadas
Introduciendo estas expresiones en la fórmula de
obtenemos la ecuación deseada Las variables de ángulo
son un conjunto independiente de coordenadas generalizadas.
Así, en el caso general, cada coordenada generalizada
puede expresarse como una serie de Fourier en todos los ángulos donde
En la mayoría de los casos, sin embargo, una coordenada generalizada original
El procedimiento general tiene tres pasos: En algunos casos, las frecuencias de dos coordenadas generalizadas diferentes son idénticas, esto es,
En estos casos se dice que el movimiento es degenerado.
El movimiento degenerado indica que existen cantidades conservadas generales adicionales.
Por ejemplo, las frecuencias del problema de Kepler son degeneradas, lo que se corresponde con la conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz.
El movimiento degenerado también indica que las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables en más de un sistema coordenado.