En matemáticas, un sistema hamiltoniano superintegrable es un sistema hamiltoniano en una variedad simpléctica de dimensión
en el que se cumplen las siguientes condiciones: (i) Existen
integrales de movimiento
Sus superficies de nivel (subvariedades invariantes) forman una variedad fibrada
sobre un subconjunto abierto y conexo
(ii) Existen funciones reales diferenciables
tales que el corchete de Poisson de las integrales de movimiento se expresa como
{\displaystyle \{F_{i},F_{j}\}=s_{ij}\circ F}
(iii) La función matricial
es de corrango constante
m = 2 n − k
, el sistema es completamente integrable.
El teorema de Mishchenko-Fomenko para sistemas hamiltonianos superintegrables generaliza el teorema de Liouville-Arnold para las coordenadas de acción-ángulo en sistemas completamente integrables como sigue.
Supongamos que las subvariedades invariantes de un sistema hamiltoniano superintegrable son conexas y mutuamente difeomorfas.
Existe un entorno abierto
que es un fibrado trivial dado con las coordenadas de acción-ángulo generalizadas
i = 1 , … , n − m
Estas coordenadas son las coordenadas de Darboux en una variedad simpléctica
El hamiltoniano de un sistema superintegrable solo depende de las variebles de acción
que son las funciones de Casimir de la estructura de Poisson coinducida en
El teorema de Liouville-Arnold para sistemas completamente integrables y el teorema de Mishchenko-Fomenko para los superintegrables se generalizan al caso de subvariedades invariantes no compactas, que son difeomorfas al cilindro toroidal