La ecuación de Binet, formulada por el matemático y astrónomo francés Jacques Philippe Marie Binet (1786-1856), proporciona el valor de una fuerza central dada la forma de una órbita sobre un plano en coordenadas polares.
Una solución única es imposible en el caso del movimiento circular alrededor de una fuerza central.
La forma de una órbita a menudo se describe ventajosamente en términos de la distancia relativa
Para la ecuación de Binet, la forma orbital se describe más concisamente por el
El momento angular específico se define como
La ecuación de Binet, deducida en la siguiente sección, da la fuerza en términos de la función
: Las leyes de Newton para una fuerza central pura especifican que El momento angular requiere Las derivadas de
con respecto al tiempo pueden reescribirse como derivadas de
con respecto al ángulo: Usando estas dos expresiones, se tiene que El Problema de Kepler tradicional del cálculo de las proporciones óptimas gobernadas por una fuerza regida por la ley de la inversa del cuadrado puede interpretarse a partir de la ecuación de Binet como la solución a la ecuación diferencial Si el ángulo
se mide desde el ápside, entonces la solución general para la órbita expresada en coordenadas polares (recíprocas) es La ecuación polar anterior describe curvas cónicas, con
La ecuación relativista derivada para las coordenadas de Schwarzschild es[1] donde
Y para la métrica de Reissner-Nordström se obtiene donde
Considérese el problema inverso de Kepler.
¿Qué tipo de ley de fuerza produce una órbita elíptica no circular (o más generalmente, una sección cónica no circular) en torno a un foco de la elipse?
Para averiguarlo, se diferencia dos veces la ecuación polar anterior para una elipse, de lo que resulta: La ley de la fuerza es por lo tanto que es la ley del cuadrado inverso.
, se reproducen la ley de gravitación universal o la ley de Coulomb respectivamente.
La fuerza efectiva para las coordenadas de Schwarzschild es[2] donde el segundo término es una fuerza inversamente cuadrática, correspondiente a efectos cuadrupolares, como el desplazamiento angular del ápside (también se puede obtener a través de potenciales retardados.[3]).
Según el formalismo postnewtoniano parametrizado se obtiene donde
La ecuación de Binet muestra que las órbitas deben ser soluciones a la ecuación La ecuación diferencial tiene tres tipos de soluciones, en analogía con las diferentes secciones cónicas del problema de Kepler.
, la solución es una epispiral, incluido el caso degenerado de una línea recta cuando
Aunque la ecuación de Binet no proporciona una ley de fuerza única para el movimiento circular sobre el centro de la fuerza, la ecuación puede proporcionar una ley de fuerza cuando el centro del círculo y el centro de la fuerza no coinciden.
Considérese por ejemplo una órbita circular que pasa directamente a través del centro de la fuerza.
Una ecuación polar (recíproca) para tal órbita circular de diámetro
dos veces y haciendo uso de la identidad pitagórica da La ley de la fuerza es así Téngase en cuenta que resolver el problema inverso general, es decir, construir las órbitas de una ley de fuerza atractiva inversamente quíntica
, es un problema considerablemente más difícil porque es equivalente a resolver que es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden.