Suma de Riemann
Se llama así en honor al matemático alemán del siglo XIX, Bernhard Riemann.
La suma se calcula dividiendo la región en formas (rectángulos, trapezoides, cuadrados, triángulo, parábolas o cúbicas) que juntas forman una región que es similar a la región que se está midiendo, luego calculando el área para cada una de estas formas y, finalmente, agregando todas estas pequeñas áreas juntas.
Este enfoque se puede usar para encontrar una aproximación numérica para una integral definida incluso si el teorema fundamental del cálculo no facilita encontrar una solución de forma cerrada.
Debido a que la región rellenada por las formas pequeñas generalmente no es exactamente la misma forma que la región que se está midiendo, la suma de Riemann será diferente del área que se está midiendo.
Este error se puede reducir al dividir la región más finamente, utilizando formas cada vez más pequeñas.
A medida que las formas se hacen cada vez más pequeñas, la suma se acerca a la integral de Riemann.
llamaremos familia de puntos intermedios (asociada a
y a la correspondiente familia de puntos
es una familia de puntos intermedios, arbitraria, correspondiente a la partición
son tales que: familias de puntos intermedios correspondientes a la partición dada (fija)
[1] Los cuatro métodos de la suma de Riemann generalmente se abordan mejor con particiones del mismo tamaño.
se divide en n subintervalos, cada uno de longitud
Para la suma de Riemann izquierda, la aproximación de la función por su valor en el punto del extremo izquierdo proporciona múltiples rectángulos con base
se aproxima aquí por el valor en el punto final derecho.
Esto da múltiples rectángulos con base
y sumando las áreas resultantes se produce
La suma correcta de Riemann equivale a una subestimación si
El error de esta fórmula será
r i g h t
{\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-A_{\mathrm {right} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}}}
en el punto medio de los intervalos da
El error de esta fórmula será
{\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-A_{\mathrm {mid} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}}}
De la manera ya descrita, un simple cálculo usando la fórmula del área para un trapecio con lados paralelos b1, b2 y altura h se produce El error de esta fórmula será donde
La aproximación obtenida con la suma trapezoidal para una función es igual al promedio de las sumas izquierda y derecha de Riemann.
Para una suma unidimensional de Riemann sobre dominio
, a medida que el tamaño máximo de un elemento de partición se reduce a cero (es decir, el límite de la norma de la partición tiende a cero), algunas funciones harán que todas las sumas de Riemann converjan al mismo valor.
Este valor límite, si existe, se define como la integral de Riemann definida de la función sobre el dominio:
Para particiones finitas, las sumas de Riemann son siempre aproximaciones al valor límite y esta aproximación mejora a medida que la partición se vuelve más fina.
Las siguientes animaciones ayudan a demostrar cómo aumentar el número de particiones (mientras se reduce el tamaño máximo del elemento de partición) se aproxima mejor al «área» debajo de la curva:Como se supone que la función roja aquí es una función uniforme, las tres sumas de Riemann convergerán al mismo valor, ya que el número de particiones va al infinito.
